Antidifferentiaatio — epämääräinen integrointi ja antiderivaatat

Antidifferentiaatio eli epämääräinen integrointi: selkeä opas antiderivaattoihin, laskusääntöihin ja esimerkkeihin — ymmärrä integroinnin perusidea nopeasti.

Tekijä: Leandro Alegsa

10-01-2026 22:23

Antidifferentiaatio (jota kutsutaan myös epämääräiseksi integroinniksi) on tietyn funktion löytäminen laskennassa. Se on differentioinnin vastakohta. Se on tapa käsitellä funktiota siten, että saadaan toinen funktio (tai funktioiden luokka), jota kutsutaan antiderivaataksi. Antidifferentiaatio on kuin integrointi - mutta ilman rajoja. Siksi sitä kutsutaankin epämääräiseksi integroinniksi. Yksittäisinä kirjaimina esitettynä antiderivaatat ovat usein isoilla roomalaisilla kirjaimilla, kuten F {\displaystyle F} ja G {\displaystyle G} $G$ .

Yleensä antiderivaatta kirjoitetaan muodossa ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\ dx} $\int f(x)\ dx$ , missä:

Määritelmä ja perusominaisuudet

Funktiota F sanotaan antiderivaataksi funktiolle f, jos F on derivoituva ja F'(x) = f(x) kaikilla x määrittelyjoukossa. Antiderivaattoja ei yleensä ole yksittäinen funktio vaan koko luokka, koska jos F on antiderivaatta, niin myös F + C on antiderivaatta mille tahansa vakiolle C. Tämän vuoksi epämääräinen integraali merkitään usein muodossa

$\int f(x)\ dx$ = F(x) + C,

missä C on integraation vakio tai niin sanottu integraatiovakio.

Perussäännöt ja usein käytetyt antiderivaatat

Lineaarisuus: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx, missä a ja b ovat vakiot.
Potenssisääntö: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, kun n ≠ −1.
Erikoistapaukset:
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
- ∫ e^x dx = e^x + C
- ∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ sin x dx = −cos x + C

Yleisiä menetelmiä antidifferentiaation tekemiseen

Substituutio (muuttujan vaihto): Käytetään, kun integrandin muoto on johdettavissa tietystä sisäisestä funktiosta.
Osittaisintegraatio: Perustuu derivoimisen ja integroimisen kaksinaisuuteen: ∫ u dv = u v − ∫ v du.
Osamurtokehittely: Rationalimuotoisten funktioiden antidifferentiaation yleinen työkalu.
Trigonometriset identiteetit: Käytetään trigonometrisen integraalin yksinkertaistamiseen ennen antidifferentiaatiota.

Esimerkkejä

∫ 3x^2 dx = 3 · (x^3/3) + C = x^3 + C.
∫ (2x + 5) dx = x^2 + 5x + C.
∫ cos(2x) dx. Substituoi u = 2x ⇒ du = 2 dx ⇒ dx = du/2, joten ∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x) + C.

Yhteys määräämättömän ja määrätyn integraalin välillä

Fundamentaalinen lause analyysissä (Newton–Leibnizin periaate) yhdistää antiderivaatat ja määrätyt integraalit: jos F on antiderivaatta funktiolle f, niin

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Tämä kertoo, että määräämätön integraali antaa yleisen antiderivaattojen luokan ja määrätty integraali voidaan laskea antiderivaattaa käyttämällä raja-arvoilla.

Rajoitukset ja erityistapaukset

Kaikilla funktioilla ei ole antiderivaattaa, joka ilmaistaisiin elementaarisilla funktioilla. Esimerkiksi f(x) = e^(−x^2) ei koskaan integroidu suljetussa muodossa elementaarisilla funktioilla; sen antiderivaattaa kuvataan erityisfunktiolla (error-funktio, erf). Lisäksi antiderivaatan määrittelyalue vaikuttaa: sama lauseke voi olla eri vakioilla eri komponenttien yli, jos alkuperäinen funktio ei ole määritelty yhtenäisesti koko akselilla.

Kun antiderivaattaa ei löydy suljetussa muodossa

Joskus käytetään sarjakehitelmiä, numeerisia menetelmiä tai erikoisfunktioita (kuten erf, Ei, liitännäiset integraalifunktiot), jotta antidifferentiaatio voidaan käsitellä käytännössä.

Lyhyt yhteenveto

Antidifferentiaatio etsii funktion F, jonka derivaatta on annettu funktio f.
Epämääräinen integraali merkitään ∫ f(x) dx ja tuloksena on F(x) + C.
Antidifferentiaation menetelmiä ovat mm. substituutio, osittaisintegraatio ja osamurtokehittely.
Fundamentaalinen lause yhdistää epämääräisen ja määrätyn integraalin: ∫_a^b f = F(b) − F(a).

Yksinkertainen antidifferentiaatio

Muotoa a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$ oleva funktio voidaan integroida (antidifferentioida) seuraavasti:

Lisää 1 potenssiin n {\displaystyle n} joten a x n {\displaystyle ax^{n}} $ax^{n}$ on nyt a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}. $ax^{n+1}$ .
Jaetaan kaikki tämä uudella potenssilla, joten se on nyt a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}$ .
Lisätään vakio c {\displaystyle c} $c$ , joten se on nyt a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} . ${\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$

Tämä voidaan esittää seuraavasti:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c} $\int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c$ (tunnetaan myös nimellä integraalin potenssisääntö).

Kun termejä on paljon, voimme integroida koko funktion integroimalla sen osat yksi kerrallaan:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} $\int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c$

(Tämä toimii vain, jos osia lisätään tai poistetaan.)

Esimerkkejä

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} $\int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c$

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}}{3}}+{\frac {x^{4}}}{4}}+{\frac {x^{5}}}{5}}+c}+c} $\int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c$

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}} $\int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c$

Murtolukujen ja juurien muuttaminen potensseiksi helpottaa asiaa:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} $\int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c$

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{{\frac {3}{2}}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}{2}}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}} $\int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c$

Sulkujen integrointi ("ketjusääntö")

Integroida sulku kuten ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} $(2x+4)^{3}$ tarvitaan erilainen menetelmä. Sitä kutsutaan ketjusäännöksi. Se on kuin yksinkertainen integrointi, mutta se toimii vain, jos suluissa oleva x {\displaystyle x} on lineaarinen (1:n potenssi), kuten x {\displaystyle x} tai 5 x {\displaystyle 5x} $5x$ - mutta ei x 5 {\displaystyle x^{5}} $x^{5}$ tai x - 7 {\displaystyle x^{-7}}}. $x^{-7}$ .

Esimerkiksi ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} $\int (2x+4)^{3}\ dx$ voidaan määrittää seuraavissa vaiheissa:

Lisää 1 potenssiin 3 {\displaystyle 3} $3$ , niin että se on nyt ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}} $(2x+4)^{4}$
Jaetaan kaikki tämä uudella potenssilla, jolloin saadaan ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4}}$
Jaetaan tämä kaikki sulkujen derivaatalla ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} $\left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)$ jolloin saadaan ( 2 x + 4 ) 4 4 ⋅ 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}} ${\frac {(2x+4)^{4}}{4\cdot 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}$
Lisätään vakio c {\displaystyle c} $c$ , jolloin saadaan 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}} ${\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c$

Esimerkkejä

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ $\int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)$

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ $\int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)$

Aiheeseen liittyvät sivut

Laskennan perusteoria
Integroitu
Numeerinen integrointi
Osittainen murto-osien hajoaminen

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mitä on antidifferentiaatio?

V: Antidifferentiaatio (jota kutsutaan myös epämääräiseksi integroinniksi) on tietyn funktion löytämisprosessi laskennassa. Se on differentioinnin vastakohta, ja siinä käsitellään funktiota siten, että saadaan toinen funktio (tai funktioiden luokka), jota kutsutaan antiderivaataksi.

K: Miten se esitetään?

V: Yksittäisinä kirjaimina esitettynä antiderivaatat ovat usein isoja roomalaisia kirjaimia, kuten F ja G. Yleensä antiderivaatta kirjoitetaan muodossa ∫f(x) dx.

K: Mitä antidifferentiaatioon sisältyy?

V: Antidifferentioinnissa funktiota käsitellään siten, että saadaan toinen funktio (tai funktioiden luokka), jota kutsutaan antiderivaataksi.

K: Miten se eroaa integroinnista?

V: Antidifferentiaatio eroaa integroinnista siinä, että siihen ei liity raja-arvoja - siksi sitä kutsutaan epämääräiseksi integroinniksi.

K: Mitkä ovat esimerkkejä siitä, miten antidifferentiaatio voidaan ilmaista?

V: Esimerkkejä siitä, miten antidifferentiaatio voidaan ilmaista, ovat F ja G, kun ne esitetään yksittäisinä kirjaimin, tai ∫f(x) dx, kun ne kirjoitetaan yleisessä muodossa.

Etsiä

Antidifferentiaatio — epämääräinen integrointi ja antiderivaatat

Määritelmä ja perusominaisuudet

Perussäännöt ja usein käytetyt antiderivaatat

Yleisiä menetelmiä antidifferentiaation tekemiseen

Esimerkkejä

Yhteys määräämättömän ja määrätyn integraalin välillä

Rajoitukset ja erityistapaukset

Kun antiderivaattaa ei löydy suljetussa muodossa

Lyhyt yhteenveto

Yksinkertainen antidifferentiaatio

Esimerkkejä

Sulkujen integrointi ("ketjusääntö")

Esimerkkejä

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mitä on antidifferentiaatio?

K: Miten se esitetään?

K: Mitä antidifferentiaatioon sisältyy?

K: Miten se eroaa integroinnista?

K: Mitkä ovat esimerkkejä siitä, miten antidifferentiaatio voidaan ilmaista?

Hae kirjaimella