Imaginaariluvut (imaginääriluvut) — määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Imaginaariluvut (i, imaginääriluvut) — selkeä määritelmä, tärkeimmät ominaisuudet ja käytännön esimerkit kompleksiluvuista ja laskutoimituksista.

Imaginaariluvut ovat lukuja, jotka saadaan yhdistämällä reaaliluku ja imaginääriyksikkö, nimeltään i, jossa i määritellään seuraavasti: i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Ne määritellään erikseen negatiivisista reaaliluvuista siten, että ne ovat negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri (positiivisen reaaliluvun sijaan). Tämä ei ole mahdollista reaaliluvuilla, koska ei ole olemassa reaalilukua, joka kerrottuna itsellään saisi negatiivisen luvun (esim. 3 × 3 = 9 {\displaystyle 3\times 3=9} ja - 3 × - 3 = 9 {\displaystyle -3\times -3=9}). ). Kuvitteellisten lukujen joukkoa merkitään joskus kirjaimella I {\displaystyle \mathbb {I} } .

Yksi tapa ajatella kuvitteellisia lukuja on sanoa, että ne ovat negatiivisille luvuille sama kuin negatiiviset luvut ovat positiivisille luvuille. Jos sanomme "mene itään -1 maili", se on sama kuin jos olisimme sanoneet "mene länteen 1 maili". Jos sanomme "mene itään i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene pohjoiseen 1 mailia". Vastaavasti jos sanomme "mene itään -i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene etelään 1 mailia".

Myös lisääminen on helppoa. Jos sanomme "mene itään 1 + i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene itään mailin verran ja pohjoiseen mailin verran".

Kahden kuvitteellisen luvun kertominen keskenään muistuttaa paljon positiivisen luvun kertomista negatiivisella luvulla. Jos sanomme "mene itään 2 × -3 mailia", se tarkoittaa "käänny ympäri (niin että olet nyt länteen päin) ja mene 2 × 3 = 6 mailia". Mielikuvitusluvut toimivat samalla tavalla, paitsi että voit kiertää osan matkaa. Jos sanomme "2 × 3i mailia itään", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "käänny, kunnes olet pohjoiseen päin, ja kulje sitten 2 × 3 = 6 mailia".

Vähennyslaskut, kuten 5 - 9, olivat ennen mahdottomia, kunnes negatiiviset luvut keksittiin, aivan kuten negatiivisen luvun neliöjuuren laskeminen oli ennen kuvitteellisten lukujen keksimistä mahdotonta. Neliöjuuri 9:stä on 3, mutta neliöjuuri -9:stä ei ole -3. Tämä johtuu siitä, että -3 x -3 = +9, ei -9. Pitkään näytti siltä, ettei -9:n neliöjuureen ollut vastausta.

Siksi matemaatikot keksivät imaginääriluvun i ja sanoivat, että se on -1:n tärkein neliöjuuri. Neliöjuuri -1 ei ole reaaliluku, joten tämä määritelmä luo uudenlaisen luvun, aivan kuten murtoluvut luovat lukuja, kuten 2/3, jotka eivät ole laskennallisia lukuja, kuten 4 tai 10, ja negatiiviset luvut luovat lukuja, jotka ovat pienempiä kuin 0. Joskus matemaatikot tuntuvat käyttävän melko mukavasti näin epätavallista lukua, mutta nimityksen imaginäärinen ei pitäisi hämätä, koska i on yhtä pätevä luku kuin 3 tai 145 379.

Monet tieteen ja tekniikan alat ovat löytäneet tälle luvulle käyttöä. Esimerkiksi sähköinsinöörit tarvitsevat i:tä ymmärtääkseen, miten sähköpiiri toimii, kun he suunnittelevat sitä (sähköinsinöörit käyttävät j:tä i:n sijasta, jotta he eivät sekoita sitä virran symboliin). Toisena esimerkkinä mainittakoon, että tietyt fysiikan alat, kuten kvanttifysiikka ja suurienergiafysiikka, käyttävät i:tä yhtä usein kuin mitä tahansa muuta tavallista lukua. Monia maailman yhtälöitä ei yksinkertaisesti voi ratkaista ilman i:tä.

Kuvitteellisia lukuja voidaan sekoittaa meille tutumpiin lukuihin. Esimerkiksi reaaliluku, kuten 2, voidaan lisätä imaginaarilukuun, kuten 3i, jolloin saadaan 2+3i. Tällaisia sekalukuja kutsutaan kompleksiluvuiksi.

Määritelmä ja peruskäsitteet

Puhdas imaginaariluku on muotoa bi, missä b on reaaliluku. Jos b ≠ 0, kutsumme lukua puhtaaksi imaginaariluvuksi. Kaikki luvut muotoa a + bi (missä a ja b ovat reaalilukuja) ovat kompleksilukuja. Reaaliluvut ovat kompleksilukuja, joiden imaginaariosa on nolla (b = 0).

Imaginäärisyksikkö täyttää yhtälön i² = −1. Tästä seuraavat usein käytetyt laskusäännöt:

• i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, ja jakso toistuu neljän välein.
• Kahden kompleksiluvun tulo: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
• Jakaminen tapahtuu kertomalla osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla: (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c − di))/(c² + d²).

Geometrinen esitys

Kompleksiluvut voidaan esittää tasossa, jossa vaakasuora akseli on reaalinen akseli ja pystyakseli imaginaarinen akseli. Luku a + bi vastaa pistettä (a, b). Tähän liittyvät tärkeät käsitteet:

• Moduuli (pituus): |a + bi| = sqrt(a² + b²).
• Konjugaatti: (a + bi)* = a − bi. Tulos z·z* = |z|².
• Kulma (argumentti): arg(a + bi) = θ, missä θ = atan2(b, a). Tämä antaa luvulle suunnan.

Polarimuoto, Eulerin kaava ja potenssit

Kompleksiluku voidaan kirjoittaa myös polarimuodossa r e^{iθ}, missä r = |z| ja e^{iθ} = cos θ + i sin θ (Eulerin kaava). Tästä seuraa käytännöllinen laskusääntö potensseille:

• de Moivre'n kaava: (r e^{iθ})^n = r^n e^{i n θ} = r^n (cos nθ + i sin nθ).
• Nth-juuret: yhtälöllä z = r e^{iθ} on n juurta r^{1/n} e^{i(θ+2kπ)/n}, k = 0,1,...,n−1.

Tyypilliset laskuesimerkit

Esimerkkilaskuja konkreettisesti:

• Lisäys: (2 + 3i) + (1 − 5i) = 3 − 2i.
• Kertolasku: (1 + 2i)(3 − 4i) = 1·3 + 1·(−4i) + 2i·3 + 2i·(−4i) = 3 − 4i + 6i − 8i² = 3 + 2i − 8(−1) = 11 + 2i.
• Jakolasku: (2 + i)/(1 − i). Kerrotaan konjugaatilla: ((2 + i)(1 + i))/((1 − i)(1 + i)) = (2 + 2i + i + i²)/(1 + 1) = (2 + 3i − 1)/2 = (1 + 3i)/2 = 1/2 + 3/2 i.

Ominaisuuksia ja merkitys

Kompleksiluvut muodostavat kentän, eli niillä voi tehdä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuja (nimittäjä ei nolla) ja laskusäännöt ovat yhtenevät reaalilukujen kanssa laajennettuna. Tärkeä teoreettinen tulos on algebrallinen täydellisyys: jokaisella kompleksikertoimisella polynomilla on ainakin yksi kompleksijuuri (peruslause algebraa), eli kompleksiluvut ovat algebrallisesti suljettu kenttä.

Imaginaariluvuilla on suuri käytännön merkitys: sähkötekniikassa ja signaalinkäsittelyssä käytetään fasoreita ja ylä- sekä alakiertoa; kvanttifysiikassa vaihe- ja amplitudikertoimet ovat usein kompleksisia; differentiaaliyhtälöiden ja Fourier-analyysin käsittely yksinkertaistuu huomattavasti kompleksifunktioiden avulla.

Historiaa ja käytännön huomautuksia

Imaginaarilukujen kehitys oli vähitellen hyväksytty: varhaisimmat maininnat ja laskut löytyvät renessanssin matemaatikoilta, mutta täydellinen käsitteellinen hyväksyntä syntyi vasta myöhemmin. Käytännössä sähköinsinöörit käyttävät usein merkintää j imaginäärisyksikölle (j² = −1), jotta i voidaan varata sähkön virran symboliksi.

Yhteenveto

Imaginaariluvut laajentavat reaalilukuja lisäämällä yhtälön i² = −1 toteuttavan yksikön. Yhdessä reaaliosan kanssa ne muodostavat kompleksiluvut, joiden avulla voidaan esittää ja ratkaista monia matemaattisia ja fysikaalisia ongelmia, joita reaaliluvuilla ei voi käsitellä yksinkertaisesti. Ne tarjoavat käyttökelpoisen geometrisen, algebraisen ja analyysin välineen, jonka sovelluksia löytyy laajasti tieteestä ja tekniikasta.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on kuvitteellinen luku?

K: Miten imaginääriluvut eroavat negatiivisista reaaliluvuista?

Kysymys: Mitä tarkoittaa, kun sanomme "mene itään -i mailia"?

K: Miten kaksi kuvitteellista lukua lasketaan yhteen?

K: Mitä ovat kompleksiluvut?

K: Millä aloilla matemaatikot käyttävät imaginääriyksikön käsitettä?

Hae kirjaimella