Imaginaariluku | luvut, jotka saadaan yhdistämällä reaaliluku ja imaginääriyksikkö

Imaginaariluvut ovat lukuja, jotka saadaan yhdistämällä reaaliluku ja imaginääriyksikkö, nimeltään i, jossa i määritellään seuraavasti: {\displaystyle i^{2}=-1} . Ne määritellään erikseen negatiivisista reaaliluvuista siten, että ne ovat negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri (positiivisen reaaliluvun sijaan). Tämä ei ole mahdollista reaaliluvuilla, koska ei ole olemassa reaalilukua, joka kerrottuna itsellään saisi negatiivisen luvun (esim. {\displaystyle 3\times 3=9} ja {\displaystyle -3\times -3=9}). Kuvitteellisten lukujen joukkoa merkitään joskus kirjaimella {\displaystyle \mathbb {I} }.

Yksi tapa ajatella kuvitteellisia lukuja on sanoa, että ne ovat negatiivisille luvuille sama kuin negatiiviset luvut ovat positiivisille luvuille. Jos sanomme "mene itään -1 maili", se on sama kuin jos olisimme sanoneet "mene länteen 1 maili". Jos sanomme "mene itään i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene pohjoiseen 1 mailia". Vastaavasti jos sanomme "mene itään -i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene etelään 1 mailia".

Myös lisääminen on helppoa. Jos sanomme "mene itään 1 + i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene itään mailin verran ja pohjoiseen mailin verran".

Kahden kuvitteellisen luvun kertominen keskenään muistuttaa paljon positiivisen luvun kertomista negatiivisella luvulla. Jos sanomme "mene itään 2 × -3 mailia", se tarkoittaa "käänny ympäri (niin että olet nyt länteen päin) ja mene 2 × 3 = 6 mailia". Mielikuvitusluvut toimivat samalla tavalla, paitsi että voit kiertää osan matkaa. Jos sanomme "2 × 3i mailia itään", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "käänny, kunnes olet pohjoiseen päin, ja kulje sitten 2 × 3 = 6 mailia".

Vähennyslaskut, kuten 5 - 9, olivat ennen mahdottomia, kunnes negatiiviset luvut keksittiin, aivan kuten negatiivisen luvun neliöjuuren laskeminen oli ennen kuvitteellisten lukujen keksimistä mahdotonta. Neliöjuuri 9:stä on 3, mutta neliöjuuri -9:stä ei ole -3. Tämä johtuu siitä, että -3 x -3 = +9, ei -9. Pitkään näytti siltä, ettei -9:n neliöjuureen ollut vastausta.

Siksi matemaatikot keksivät imaginääriluvun i ja sanoivat, että se on -1:n tärkein neliöjuuri. Neliöjuuri -1 ei ole reaaliluku, joten tämä määritelmä luo uudenlaisen luvun, aivan kuten murtoluvut luovat lukuja, kuten 2/3, jotka eivät ole laskennallisia lukuja, kuten 4 tai 10, ja negatiiviset luvut luovat lukuja, jotka ovat pienempiä kuin 0. Joskus matemaatikot tuntuvat käyttävän melko mukavasti näin epätavallista lukua, mutta nimityksen imaginäärinen ei pitäisi hämätä, koska i on yhtä pätevä luku kuin 3 tai 145 379.

Monet tieteen ja tekniikan alat ovat löytäneet tälle luvulle käyttöä. Esimerkiksi sähköinsinöörit tarvitsevat i:tä ymmärtääkseen, miten sähköpiiri toimii, kun he suunnittelevat sitä (sähköinsinöörit käyttävät j:tä i:n sijasta, jotta he eivät sekoita sitä virran symboliin). Toisena esimerkkinä mainittakoon, että tietyt fysiikan alat, kuten kvanttifysiikka ja suurienergiafysiikka, käyttävät i:tä yhtä usein kuin mitä tahansa muuta tavallista lukua. Monia maailman yhtälöitä ei yksinkertaisesti voi ratkaista ilman i:tä.

Kuvitteellisia lukuja voidaan sekoittaa meille tutumpiin lukuihin. Esimerkiksi reaaliluku, kuten 2, voidaan lisätä imaginaarilukuun, kuten 3i, jolloin saadaan 2+3i. Tällaisia sekalukuja kutsutaan kompleksiluvuiksi.


 

Aiheeseen liittyvät sivut

  • Kompleksitaso
  • Gerolamo Cardano
 

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on kuvitteellinen luku?


V: Imaginaariluku on reaaliluvun ja imaginääriyksikön, nimeltään i, yhdistelmä, jossa i määritellään i^2=-1.

K: Miten imaginääriluvut eroavat negatiivisista reaaliluvuista?


V: Imaginääriluvut määritellään negatiivisista reaaliluvuista erillään siten, että ne ovat negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri (positiivisen reaaliluvun sijaan). Tämä ei ole mahdollista reaaliluvuilla, koska ei ole olemassa mitään reaalilukua, joka kertoisi itsellään negatiivisen luvun saamiseksi.

Kysymys: Mitä tarkoittaa, kun sanomme "mene itään -i mailia"?


V: Kun sanomme "mene itään -i mailia", se tarkoittaa samaa kuin jos olisimme sanoneet "mene etelään 1 mailia".

K: Miten kaksi kuvitteellista lukua lasketaan yhteen?


V: Kahden kuvitteellisen luvun yhteenlasku onnistuu sanomalla "mene itään yhden mailin verran ja pohjoiseen yhden mailin verran". Kahden imaginaariluvun kertominen on samanlaista kuin positiivisen luvun kertominen negatiivisella luvulla.

K: Mitä ovat kompleksiluvut?


V: Kompleksiluvut ovat sekalukuja, jotka koostuvat sekä reaali- että imaginaarikomponenteista, kuten 2+3i. Ne syntyvät, kun reaalinen ja imaginaarinen komponentti lasketaan yhteen.

K: Millä aloilla matemaatikot käyttävät imaginääriyksikön käsitettä?


V: Matemaatikot käyttävät imaginääriyksikön käsitettä monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten sähkötekniikassa, kvanttifysiikassa, suurenergiafysiikassa jne. Sitä käytetään myös yhtälöissä, joita ei voida ratkaista ilman sitä.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3