Imaginaariyksikkö | lukuarvo, joka on olemassa vain reaalilukujen ulkopuolella

Matematiikassa imaginääriyksikkö eli i {\displaystyle i} $i$ , on lukuarvo, joka on olemassa vain reaalilukujen ulkopuolella ja jota käytetään algebrassa. Kun imaginääriyksikkö kerrotaan reaaliluvulla, tulosta kutsutaan imaginääriluvuksi. Vaikka imaginäärilukuja voidaan käyttää monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen, niitä ei voida esittää määrällä reaalielämän esineitä.

Historia

Kuvitteelliset yksiköt keksittiin vastaamaan polynomiyhtälöön x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , jolla ei yleensä ole ratkaisua (ks. jäljempänä). Termi "imaginaarinen" on peräisin René Descartesilta, ja sen tarkoituksena oli olla loukkaava, sillä kuten nolla ja negatiiviset luvut muina aikoina historiassa, imaginaarisia lukuja pidettiin hyödyttöminä, koska ne eivät ole luonnollisia. Vasta myöhempinä vuosisatoina sellaisten matemaatikkojen kuin Leonhard Eulerin, Augustin-Louis Cauchyn ja Carl Friedrich Gaussin työ osoitti, että imaginääriluvut olivat hyvin tärkeitä joillakin algebran osa-alueilla.

Määritelmä

Yleinen sääntö lukujen kertomista ja jakamista varten on, että jos merkit ovat erilaiset, tulos on negatiivinen (esim. 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), mutta jos molemmilla luvuilla on sama merkki, tulos on positiivinen (esim. 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ ja - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Tämä johtaa kuitenkin ongelmiin negatiivisten lukujen neliöjuurien kanssa, sillä kaksi negatiivista lukua muodostaa aina positiivisen luvun:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4}} $2\times 2=2^{2}=4$

joten 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

mutta - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

koska - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4}} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

Tämän arvovälin täyttämiseksi tehtiin imaginääriyksikkö, joka määritellään seuraavasti: i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ ja i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Käyttämällä imaginäärilukuja voimme ratkaista viimeisen esimerkkimme:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\times 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ ja - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Neliöjuuri i:stä

Vaikka imaginääriyksikkö tulee kvadraattisen yhtälön (yhtälö, jossa tuntematon esiintyy neliönä) ratkaisemisesta, voisimme kysyä, tarvitseeko meidän luoda uusia lukuarvoja, kuten imaginääriyksikkö, ratkaistaksemme yhtälöitä, joissa esiintyy x:n suurempia potensseja {\displaystyle x} kuten x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ ja x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . Esimerkiksi yhtälössä x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ on tuntemattoman muuttujan x neljäs potenssi {\displaystyle x} . Tarvitaanko tämän yhtälön ratkaisemiseen uusia yksiköitä, kuten i {\displaystyle i} ? $i$

Voisimme myös esittää samanlaisen kysymyksen: meidän piti luoda uusi luku, jotta löytäisimme -1:n neliöjuuren, ja kutsuimme tätä uutta lukua i {\displaystyle i} $i$ . Pitääkö meidän luoda uusi luku löytääksemme neliöjuuret i {\displaystyle i} $i$ ?

Vastaus molempiin kysymyksiin on ei. Toisen kysymyksen osalta voidaan todeta, että i:n neliöjuuret {\displaystyle i} $i$ voidaan kirjoittaa reaali- ja imaginääriosan avulla. Tarkemmin sanottuna i {\displaystyle i} $i$ neliöjuuret voidaan kirjoittaa seuraavasti: ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Voimme tarkistaa, että nämä ovat todella i {\displaystyle i} $i$ neliöjuuria, neliöimällä ne ja katsomalla, saammeko i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\} } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\} } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Voimme myös huomata, että ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , joten ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} $\pm {\sqrt {i}}$ ratkaisee yhtälön x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , mikä vastaa osittain ensimmäiseen kysymykseemme-- yhtälölle x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ ratkaisut ovat edelleen kompleksilukuja (reaaliluvun ja imaginääriluvun yhteenlaskun tulos). Tälle yhtälölle on vielä kaksi ratkaisua, x = ± 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , ja nekin ovat kompleksilukuja. Yhtälön ratkaisemiseen ei tarvita uusia lukuja, kuten imaginääriyksikköä.

Yleensä kaikki yhtälöt, joissa tuntematon esiintyy kokonaisluvun potensseilla, voidaan ratkaista kompleksiluvuilla, joten kun tiedämme imaginääriyksikön, voimme ratkaista minkä tahansa tämän muotoisen yhtälön. Tämä tulos on niin tärkeä, että sitä kutsutaan algebran perusteoreemaksi.

i:n potenssit

Tehot i {\displaystyle i} $i$ tai i {\displaystyle i} $i$ noudattavat säännöllistä ja ennustettavaa kaavaa:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Kuten näkyy, joka kerta kun kerromme toisella i {\displaystyle i} $i$ arvot ovat 1 , i , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ ja toistetaan sitten.

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on imaginääriyksikkö?

V: Imaginaariyksikkö on lukuarvo, joka on olemassa vain reaalilukujen ulkopuolella ja jota käytetään algebrassa.

K: Miten imaginääriyksikköä käytetään?

V: Kertomalla imaginääriyksikön reaaliluvulla muodostetaan imaginääriluku.

K: Mihin imaginäärilukuja käytetään?

V: Imaginäärilukuja voidaan käyttää monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen.

K: Voimmeko esittää imaginaariluvun reaalielämän esineillä?

V: Ei, emme voi esittää kuvitteellista lukua todellisilla esineillä.

K: Mistä imaginääriyksikkö tulee?

V: Kuvitteellinen yksikkö on peräisin matematiikasta ja algebrasta.

K: Onko imaginääriyksikkö osa reaalilukuja?

V: Ei, se on olemassa reaalilukujen ulkopuolella.

K: Miten imaginääriluku lasketaan? V: Imaginaariluku lasketaan kertomalla reaaliluku imaginääriyksiköllä.