Imaginaariyksikkö i matematiikassa määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Matematiikassa imaginääriyksikkö eli i {\displaystyle i} $i$ , on lukuarvo, joka on olemassa vain reaalilukujen ulkopuolella ja jota käytetään algebrassa. Kun imaginääriyksikkö kerrotaan reaaliluvulla, tulosta kutsutaan imaginääriluvuksi. Vaikka imaginäärilukuja voidaan käyttää monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen, niitä ei voida esittää määrällä reaalielämän esineitä.

Määritelmä ja perusominaisuus

Imaginääriyksikkö merkitään tavallisesti i (insinööreillä käytetään joskus merkintää j) ja sille pätee määritelmä

i² = −1.

Tämän vuoksi i ei ole reaaliluku: ei ole mitään reaalilukua, jonka neliö olisi −1. Imaginääriyksikön avulla muodostetaan kompleksilukuja, jotka ovat muotoa a + bi, missä a ja b ovat reaalilukuja.

Kompleksiluvun rakenne ja termit

Reaaliosa: luku a kompleksiluvusta a + bi.
Imaginääriosa: luku b (kertoo imaginääriyksikön i voimakkuuden).
Konjugaattiluku: luvun a + bi konjugaatti on a − bi.
Moduuli (absoluuttiarvo): |a + bi| = sqrt(a² + b²), etäisyys origosta kompleksitasolla.
Argumentti (kulma): kompleksiluvun kulma x-akseliin nähden, yleensä merkitty θ.

Operaatiot ja ominaisuuksia

Potenssit: i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1 ja tästä lähtien jaksollisesti i^(n+4) = i^n.
Lisääminen ja vähennys: kompleksiluvut lasketaan komponentti kerrallaan, esim. (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Kertominen: käytä distributiivisuutta ja korvaa i² = −1. Esim. (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Jakaminen: jaettaessa käytetään konjugaattilukua perinteisen rationaalistamisen avulla.
Polaarimuoto ja Eulerin muoto: a + bi voidaan kirjoittaa muodossa r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ}, missä r = |a+bi| ja θ = arg(a+bi). Eulerin kaava e^{iθ} = cos θ + i sin θ yhdistää trigonometriaa ja eksponenttifunktiota.

Laskuesimerkkejä

i² = −1, joten i³ = i·i² = i·(−1) = −i ja i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1.
(2 + 3i)(1 − i) = 2·1 + 2·(−i) + 3i·1 + 3i·(−i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i − 3(−1) = 5 + i.
Moduuli: |2 + 3i| = sqrt(2² + 3²) = sqrt(13).
Yhtälön ratkaisu: x² + 1 = 0 ⇒ x² = −1 ⇒ x = ±i.
Neliöjuuri imaginaarista: yksi neliöjuuri luvusta i on (√2/2) + i(√2/2) (molemmat merkit ± ovat mahdollisia).

Sovelluksia ja merkitys

Imaginääriyksikköä ja kompleksilukuja käytetään laajasti fysiikassa, sähkötekniikassa, signaalinkäsittelyssä, differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa sekä matemaattisessa analyysissä. Ne mahdollistavat erilaisten yhtälöiden ratkaisun ja tarjoavat kätevän tavan kuvata vaihe- ja amplitudimuutoksia aaltoliikkeissä.

Historiallinen ja käsitteellinen huomio

Alun perin imaginääriarvot nähtiin "epätavallisina", mutta nykymatematiikassa ne ovat yhtä looginen ja käytännöllinen laajennus reaaliluvuista. Kompleksilukujen joukko on kenttä, jolla on samat peruslaskusäännöt kuin reaaliluvuilla, mutta laajemmat mahdollisuudet ongelmien ratkaisuun.

Yhteenveto: imaginääriyksikkö i on perusominaisuus kompleksiluvuissa, jonka määrittävä ominaisuus on i² = −1. Sen avulla muodostuvat kompleksiluvut tarjoavat tehokkaan työkalun moniin matemaattisiin ja teknisiin sovelluksiin.

Historia

Kuvitteelliset yksiköt keksittiin vastaamaan polynomiyhtälöön x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} $x^{2}+1=0$ , jolla ei yleensä ole ratkaisua (ks. jäljempänä). Termi "imaginaarinen" on peräisin René Descartesilta, ja sen tarkoituksena oli olla loukkaava, sillä kuten nolla ja negatiiviset luvut muina aikoina historiassa, imaginaarisia lukuja pidettiin hyödyttöminä, koska ne eivät ole luonnollisia. Vasta myöhempinä vuosisatoina sellaisten matemaatikkojen kuin Leonhard Eulerin, Augustin-Louis Cauchyn ja Carl Friedrich Gaussin työ osoitti, että imaginääriluvut olivat hyvin tärkeitä joillakin algebran osa-alueilla.

Määritelmä

Yleinen sääntö lukujen kertomista ja jakamista varten on, että jos merkit ovat erilaiset, tulos on negatiivinen (esim. 4 × - 3 = - 12 {\displaystyle 4\times -3=-12} $4\times -3=-12$ ), mutta jos molemmilla luvuilla on sama merkki, tulos on positiivinen (esim. 5 × 6 = 30 {\displaystyle 5\times 6=30} $5\times 6=30$ ja - 10 × - 10 = 100 {\displaystyle -10\times -10=100} $-10\times -10=100$ ). Tämä johtaa kuitenkin ongelmiin negatiivisten lukujen neliöjuurien kanssa, sillä kaksi negatiivista lukua muodostaa aina positiivisen luvun:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2\times 2=2^{2}=4}} $2\times 2=2^{2}=4$

joten 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$

mutta - 4 ≠ - 2 {\displaystyle {\sqrt {-4}}\neq -2} ${\sqrt {-4}}\neq -2$

koska - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {\displaystyle -2\times -2=(-2)^{2}=4}} $-2\times -2=(-2)^{2}=4$

Tämän arvovälin täyttämiseksi tehtiin imaginääriyksikkö, joka määritellään seuraavasti: i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} $i={\sqrt {-1}}$ ja i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ . Käyttämällä imaginäärilukuja voimme ratkaista viimeisen esimerkkimme:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle 2i\times 2i=4i^{2}=-4} $2i\times 2i=4i^{2}=-4$

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {\displaystyle -2i\times -2i=4i^{2}=-4} $-2i\times -2i=4i^{2}=-4$

4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ${\sqrt {4}}=2$ ja - 4 = 2 i {\displaystyle {\sqrt {-4}}=2i} ${\sqrt {-4}}=2i$

Neliöjuuri i:stä

Vaikka imaginääriyksikkö tulee kvadraattisen yhtälön (yhtälö, jossa tuntematon esiintyy neliönä) ratkaisemisesta, voisimme kysyä, tarvitseeko meidän luoda uusia lukuarvoja, kuten imaginääriyksikkö, ratkaistaksemme yhtälöitä, joissa esiintyy x:n suurempia potensseja {\displaystyle x} kuten x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ ja x 4 {\displaystyle x^{4}} $x^{4}$ . Esimerkiksi yhtälössä x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ on tuntemattoman muuttujan x neljäs potenssi {\displaystyle x} . Tarvitaanko tämän yhtälön ratkaisemiseen uusia yksiköitä, kuten i {\displaystyle i} ? $i$

Voisimme myös esittää samanlaisen kysymyksen: meidän piti luoda uusi luku, jotta löytäisimme -1:n neliöjuuren, ja kutsuimme tätä uutta lukua i {\displaystyle i} $i$ . Pitääkö meidän luoda uusi luku löytääksemme neliöjuuret i {\displaystyle i} $i$ ?

Vastaus molempiin kysymyksiin on ei. Toisen kysymyksen osalta voidaan todeta, että i:n neliöjuuret {\displaystyle i} $i$ voidaan kirjoittaa reaali- ja imaginääriosan avulla. Tarkemmin sanottuna i {\displaystyle i} $i$ neliöjuuret voidaan kirjoittaa seuraavasti: ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} $\pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ . Voimme tarkistaa, että nämä ovat todella i {\displaystyle i} $i$ neliöjuuria, neliöimällä ne ja katsomalla, saammeko i {\displaystyle i} $i$ :

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ } } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\} } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\} } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle =i\ } $=i\$

Voimme myös huomata, että ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} $(\pm {\sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1$ , joten ± i {\displaystyle \pm {\sqrt {i}}} $\pm {\sqrt {i}}$ ratkaisee yhtälön x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ , mikä vastaa osittain ensimmäiseen kysymykseemme-- yhtälölle x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} $x^{4}+1=0$ ratkaisut ovat edelleen kompleksilukuja (reaaliluvun ja imaginääriluvun yhteenlaskun tulos). Tälle yhtälölle on vielä kaksi ratkaisua, x = ± 2 2 ( 1 - i ) {\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)} $x=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1-i)$ , ja nekin ovat kompleksilukuja. Yhtälön ratkaisemiseen ei tarvita uusia lukuja, kuten imaginääriyksikköä.

Yleensä kaikki yhtälöt, joissa tuntematon esiintyy kokonaisluvun potensseilla, voidaan ratkaista kompleksiluvuilla, joten kun tiedämme imaginääriyksikön, voimme ratkaista minkä tahansa tämän muotoisen yhtälön. Tämä tulos on niin tärkeä, että sitä kutsutaan algebran perusteoreemaksi.

i:n potenssit

Tehot i {\displaystyle i} $i$ tai i {\displaystyle i} $i$ noudattavat säännöllistä ja ennustettavaa kaavaa:

i - 4 = 1 {\displaystyle i^{-4}=1} $i^{-4}=1$

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

i 7 = - i {\displaystyle i^{7}=-i} $i^{7}=-i$

Kuten näkyy, joka kerta kun kerromme toisella i {\displaystyle i} $i$ arvot ovat 1 , i , - 1 , - i {\displaystyle 1,i,-1,-i} $1,i,-1,-i$ ja toistetaan sitten.

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on imaginääriyksikkö?

V: Imaginaariyksikkö on lukuarvo, joka on olemassa vain reaalilukujen ulkopuolella ja jota käytetään algebrassa.

K: Miten imaginääriyksikköä käytetään?

V: Kertomalla imaginääriyksikön reaaliluvulla muodostetaan imaginääriluku.

K: Mihin imaginäärilukuja käytetään?

V: Imaginäärilukuja voidaan käyttää monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen.

K: Voimmeko esittää imaginaariluvun reaalielämän esineillä?

V: Ei, emme voi esittää kuvitteellista lukua todellisilla esineillä.

K: Mistä imaginääriyksikkö tulee?

V: Kuvitteellinen yksikkö on peräisin matematiikasta ja algebrasta.

K: Onko imaginääriyksikkö osa reaalilukuja?

V: Ei, se on olemassa reaalilukujen ulkopuolella.

K: Miten imaginääriluku lasketaan? V: Imaginaariluku lasketaan kertomalla reaaliluku imaginääriyksiköllä.