Suurten lukujen laki
Suurten lukujen laki (LLN) on tilastotieteen lause. Tarkastellaan jotakin prosessia, jossa esiintyy satunnaisia tuloksia. Esimerkiksi satunnaismuuttujaa havaitaan toistuvasti. Tällöin havaittujen arvojen keskiarvo on pitkällä aikavälillä vakaa. Tämä tarkoittaa sitä, että pitkällä aikavälillä havaittujen arvojen keskiarvo tulee yhä lähemmäksi odotusarvoa.
Noppaa heitettäessä numerot 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 ovat mahdollisia tuloksia. Ne ovat kaikki yhtä todennäköisiä. Tulosten populaatiokeskiarvo (tai "odotusarvo") on:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Seuraavassa kuvaajassa esitetään tulokset kokeesta, jossa heitetään noppaa. Tässä kokeessa voidaan havaita, että nopanheiton keskiarvo vaihtelee aluksi rajusti. LLN:n ennustuksen mukaisesti keskiarvo vakiintuu odotusarvon 3,5 ympärille, kun havaintojen määrä kasvaa suureksi.
Historia
Jacob Bernoulli kuvasi ensimmäisenä LLN:n. Hänen mukaansa se oli niin yksinkertainen, että tyhmempikin ihminen tietää vaistomaisesti sen olevan totta. Tästä huolimatta häneltä kesti yli 20 vuotta kehittää hyvä matemaattinen todiste. Kun hän oli löytänyt sen, hän julkaisi todistuksen teoksessa Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing) vuonna 1713. Hän nimesi sen "kultaiseksi lauseeksi". Se tuli yleisesti tunnetuksi nimellä "Bernoullin lause" (ei pidä sekoittaa samannimiseen fysiikan lakiin). Vuonna 1835 S.D.Poisson kuvaili sitä edelleen nimellä "La loi des grands nombres" (Suurten lukujen laki). Sen jälkeen se tunnettiin molemmilla nimillä, mutta useimmiten käytetään nimitystä "suurten lukujen laki".
Myös muut matemaatikot vaikuttivat osaltaan lain parantamiseen. Jotkut heistä olivat Tšebyšev, Markov, Borel, Cantelli ja Kolmogorov. Näiden tutkimusten jälkeen laista on nyt olemassa kaksi eri muotoa: Toista kutsutaan "heikoksi" laiksi ja toista "vahvaksi" laiksi. Nämä muodot eivät kuvaa eri lakeja. Niillä on erilaiset tavat kuvata havaitun tai mitatun todennäköisyyden lähentymistä todelliseen todennäköisyyteen. Lain vahva muoto edellyttää heikkoa muotoa.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on suurten lukujen laki?
A: Suurten lukujen laki on tilastollinen lause, jonka mukaan jos satunnaisprosessia havaitaan toistuvasti, havaittujen arvojen keskiarvo on pitkällä aikavälillä vakaa.
K: Mitä suurten lukujen laki tarkoittaa?
V: Suurten lukujen laki tarkoittaa, että havaintojen määrän kasvaessa havaittujen arvojen keskiarvo tulee yhä lähemmäksi odotusarvoa.
K: Mikä on odotusarvo?
V: Odotusarvo on satunnaisprosessin tulosten populaation keskiarvo.
K: Mikä on odotusarvo, kun heitetään noppaa?
V: Kuution heittämisen odotusarvo on mahdollisten tulosten summa jaettuna tulosten lukumäärällä: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
K: Mitä tekstissä oleva kuvaaja osoittaa suhteessa suurten lukujen lakiin?
V: Kuvaaja osoittaa, että nopanheittojen keskiarvo vaihtelee aluksi hurjasti, mutta kuten LLN:n laki ennustaa, keskiarvo vakiintuu odotusarvon 3,5 ympärille, kun havaintojen määrä kasvaa suureksi.
K: Miten suurten lukujen lakia sovelletaan nopan heittämiseen?
V: Suurten lukujen laki pätee noppien heittämiseen, koska heittojen määrän kasvaessa heittojen keskiarvo tulee yhä lähemmäksi odotusarvoa 3,5.
K: Miksi suurten lukujen laki on tärkeä tilastotieteessä?
V: Suurten lukujen laki on tärkeä tilastotieteessä, koska se tarjoaa teoreettisen perustan ajatukselle, että tiedoilla on taipumus keskimääräistyä suurella määrällä havaintoja. Se on perusta monille tilastollisille menetelmille, kuten luottamusväleille ja hypoteesin testaukselle.
