Osittaisderivaatta: määritelmä, merkintä ja käyttö monimuuttujaisissa funktioissa

Tutustu osittaisderivaatan määritelmään, merkintöihin ja käytäntöön monimuuttujaisissa funktioissa — selkeä opas laskentaan, tulkintaan ja sovelluksiin.

Tekijä: Leandro Alegsa

10-01-2026 21:03

Laskennassa, joka on edistynyt matematiikan laji, funktion osittaisderivaatta on yhden nimetyn muuttujan derivaatta, ja funktion nimeämätön muuttuja pidetään vakiona. Toisin sanoen osittaisderivaatta ottaa funktion tiettyjen merkittyjen muuttujien derivaatan eikä differentioi muuta muuttujaa (muita muuttujia). Osittaisderivaatta kertoo, miten funktion arvo muuttuu, kun vain yksi muuttuja muuttuu pienesti ja muut pidetään paikallisesti vakioina.

Muodellinen määritelmä

Jos f on funktio useasta muuttujasta, esimerkiksi f(x,y,...) ja halutaan osittaisderivaatta muuttujan x suhteen pisteessä (x0,y0,...), niin määritelmä on samanlainen kuin yksimuuttujaisessa tapauksessa mutta muut muuttujat pidetään vakiona:

∂f/∂x(x0,y0,...) = lim h→0 [f(x0+h,y0,...) − f(x0,y0,...)] / h,

kun tämä raja-arvo on olemassa. Osittaisderivaatta on siis yksittäin laskettu muutosnopeus kyseisen muuttujan suunnassa.

Merkintätapa

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} ${\frac {\partial f}{\partial x}}$

Yleisimpiä merkintöjä ovat ∂f/∂x, f_x tai D_x f. Kun halutaan korostaa pistettä, käytetään muotoa (∂f/∂x)(x0,y0,...) tai ∂/∂x f(x,y,...)|_{(x0,y0,...)}.

Kuinka osittaisderivaatta lasketaan käytännössä

Osittaisderivaatta lasketaan samalla tavoin kuin tavallinen derivaatta, mutta oletetaan muut muuttujat vakioksi. Perussäännöt pätevät: lineaarisuus, tulon sääntö (product rule), osamäärän sääntö (quotient rule) ja ketjusääntö (chain rule) sovelletaan kiinnittämällä huomiota siihen, mitkä muuttujat muuttuvat.

Esimerkki: olkoon f(x,y) = x² y + sin(xy). Tällöin

∂f/∂x = 2x y + cos(xy)·y (koska y pidetään vakiona)
∂f/∂y = x² + cos(xy)·x (koska x pidetään vakiona)

Korkeamman kertaluvun ja sekoitetut osittaisderivaatat

Voidaan ottaa toisen kertaluvun osittaisderivaattoja, kuten ∂²f/∂x² tai sekoitettuja muotoja ∂²f/∂x∂y. Jos f:llä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaisderivaatat tietyssä avoimessa joukossa, niin Clairaut'n (Schwarzin) teoreeman mukaan sekoitetut derivaatat ovat yhtä suuret:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x tietyin säännöin (kun derivaatit ovat jatkuvia).

Gradientti, Hessin matriisi ja sovelluksia

Monimuuttujaisen funktion osittaisderivaattojen vektori on gradientti ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...). Gradientti osoittaa nopeimman kasvun suunnan ja sen suuruus kertoo kasvun nopeuden. Toisen kertaluvun osittaisderivaatat muodostavat Hessin matriisin, jota käytetään mm. optimoinnissa luokittamaan kriittiset pisteet (minimit, maksimit, satulat).

Osittaisderivaattoja käytetään laajasti:

optimoinnissa (Lagrangen kertoimet, ehtoihin sidotut optimointiongelmat),
dynaamisissa malleissa ja differentiaaliyhtälöissä (erityisesti osittaisdifferentiaaliyhtälöissä, PDE),
fysiikassa (esim. kenttäfunktiot), taloustieteessä (rajamuutokset), koneoppimisessa (gradientsien laskenta),
ja muissa tilanteissa, joissa kiinnostaa yhden muuttujan vaikutus pidettäessä muut muuttujat vakioina.

Ketjusääntö ja riippuvaiset muuttujat

Jos funktio f riippuu välillisesti muuttujasta x esimerkiksi z = g(x,y) ja f = F(x,z), käytetään ketjusääntöä osittaisderivaattojen laskemiseksi. Yleinen muoto on:

∂(F∘g)/∂x = ∂F/∂x + ∂F/∂z · ∂z/∂x,

missä summataan vaikutukset suoraan x:n kautta ja välillisesti z:n kautta. Ketjusääntöä tulee käyttää huolellisesti, kun muuttujiin liittyy riippuvuuksia.

Huomioita ja käytännön vinkkejä

Osittaisderivaatta edellyttää, että funktio on määritelty ja riittävän säännöllinen siinä pisteessä.
Kirjoita selkeästi, mitä muuttujia pidetään vakiona: tämä auttaa välttämään virheitä ketjusäännössä ja tulon säännössä.
Sekoitettujen osittaisderivaattojen tasa-arvo ei aina päde jos toisella tai kummallakaan ei ole jatkuvia toisen kertaluvun derivaattoja.

Yhteenvetona: osittaisderivaatta on keskeinen työkalu monimuuttuja-analyysissä. Se kuvaa funktion paikallista käyttäytymistä yhden muuttujan muutoksen suhteen samalla kun muut muuttujat pidetään vakioina, ja se muodostaa pohjan gradientille, Hessille, ketjusäännölle, sekä monille sovelluksille luonnontieteissä ja tekniikassa.

Esimerkkejä

Jos meillä on funktio f ( x , y ) = x 2 + y {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y} } $f(x,y)=x^{2}+y$ , niin f(x, y):lle on olemassa useita osittaisderivaattoja, jotka ovat kaikki yhtä päteviä. Esim,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1} ${\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1$

Tai voimme toimia seuraavasti:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x} ${\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x$

Aiheeseen liittyvät sivut

Derivaatta (matematiikka)

Calculus

Erotusosamäärä

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on osittaisjohdannainen?

A: Osittaisderivaatta on funktion yhden nimetyn muuttujan derivaatta, jossa kaikki muut nimeämättömät muuttujat pidetään vakiona.

K: Miten osittaisderivaatta yleensä merkitään?

V: Funktion f osittaisderivaatta muuttujan x suhteen merkitään yleensä muodossa {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}, f_x tai \partial _{x}f.

Kysymys: Otetaanko osittaisderivaatta aina monimuuttujaisessa funktiossa?

V: Yleensä, vaikkakaan ei aina, osittaisderivaatta otetaan monimuuttujaisessa funktiossa (funktio, joka ottaa syötteenä kaksi tai useampia muuttujia).

K: Mitä tarkoittaa funktion tiettyjen ilmoitettujen muuttujien differentioiminen?

V: Funktion tiettyjen ilmoitettujen muuttujien differentioiminen tarkoittaa näiden muuttujien derivaattojen ottamista, kun kaikki muut muuttujat pidetään vakioina.

K: Minkälaista laskentaa tämä käsite edellyttää?

V: Tämä käsite sisältää monimuuttujalaskennan, jossa tutkitaan usean muuttujan funktioiden muutosnopeutta.

K: Onko osittaisderivaatalle olemassa muita päteviä merkintöjä kuin tekstissä mainitut?

V: Kyllä, osittaisderivaatalle voi olla muitakin päteviä merkintöjä kuin tekstissä mainitut.

Etsiä