Todennäköisyystiheysfunktio (PDF): määritelmä ja perusominaisuudet

Todennäköisyystiheysfunktio (PDF): selkeä määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja esimerkit jatkuville jakaumille, integrointi, ei-negatiivisuus ja käytännön sovellukset.

Todennäköisyys- ja tilastotieteessä todennäköisyystiheysfunktio on funktio, joka kuvaa mitä tahansa jatkuvaa todennäköisyysjakaumaa. Satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheysfunktio X kirjoitetaan joskus muotoon f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} . Todennäköisyystiheysfunktion integraali välillä [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} antaa todennäköisyyden, että tietty satunnaismuuttuja, jolla on tietty tiheys, sisältyy annettuun väliin. Määritelmän mukaan todennäköisyystiheysfunktio on ei-negatiivinen koko alueellaan, jolla integraali on 1.

Perusominaisuudet

• Ei-negatiivisuus: f_X(x) ≥ 0 kaikilla x.
• Normalisointi: koko reaaliakselin yli integroidessa tiheys antaa 1: P(X ∈ R) = ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1.
• Välin todennäköisyydet: todennäköisyys, että X kuuluu välillä [a,b], saadaan integraalilla: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx.
• Pisteen todennäköisyys: jatkuvissa jakaumissa P(X = x) = 0 useimmissa tapauksissa, vaikka f_X(x) voi olla suurempi kuin nolla. Tiheys ei siis ole suoraan todennäköisyys vaan "tiheys" suhteessa pituusyksikköön.
• Tuki (support): tuki on se x:n joukko, jolla f_X(x) > 0. Usein tiheys on nolla sen ulkopuolella.

Yhteys kertymäfunktioon (CDF)

Kertymäfunktio F_X(x) määritellään F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f_X(t) dt. Jos F_X on dérivoituva kohdassa x, niin f_X(x) = F_X'(x). Tätä yhteyttä käytetään usein kertymäfunktion ja tiheyden välillä vaihtamiseen.

Odotusarvo, varianssi ja korkeammat momentit

• Odotusarvo (keskiarvo): E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f_X(x) dx, kun integraali konvergoi.
• Varianssi: Var(X) = E[(X − μ)^2] = ∫_{-∞}^{∞} (x − μ)^2 f_X(x) dx, missä μ = E[X].
• Muut momentit: E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, kun integraali on määritelty.

Yleisiä esimerkkejä

• Yhtenäinen jakauma (Uniform): esimerkiksi U(0,1): f_X(x)=1 välillä 0 ≤ x ≤ 1, muuten 0. Tällöin P(a ≤ X ≤ b)=b−a kun 0 ≤ a ≤ b ≤ 1.
• Normaali- eli Gaussin jakauma: tiheysprofiili (esim. standardinormaalilla) f_X(x) = (1/√(2π)) e^{−x^2/2}. Normaalijakauman parametreina ovat odotusarvo μ ja keskihajonta σ.
• Eksponentiaalijakauma: usein käytetty elinikä- ja odotusmallinnuksessa: f_X(x) = λ e^{−λ x} (x ≥ 0), λ > 0.
• Seokset (mixtures): jakauma voi olla usean tiheyden yhdistelmä painotettuna, esim. sekoite kahdesta normaalista.

Yhteis- ja ehdolliset tiheydet

Kun on useita satunnaismuuttujia (X, Y), voidaan määritellä yhteistiheys f_{X,Y}(x,y). Marginaalitiheys saadaan integroimalla pois toinen muuttuja: f_X(x) = ∫_{−∞}^{∞} f_{X,Y}(x,y) dy. Ehdollinen tiheys on muotoa f_{X|Y}(x|y) = f_{X,Y}(x,y) / f_Y(y) kun f_Y(y) > 0.

Muunnokset ja tiheyden muuttamissäännöt

Jos Y = g(X) ja g on monotoneja ja differensoituva, niin Y:n tiheys voidaan saada muuttujanvaihdolla: f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) · |d/dy g^{-1}(y)|, tai yleisemmin käyttämällä Jakobiania monimuuttujaisissa tapauksissa.

Käytännön huomioita

• Mittayksiköt: tiheydellä on yksikkö, jonka käänteisarvo kuvaa muuttujan mittayksikön vaikutusta todennäköisyyksiin (esim. todennäköisyys per yksikkö).
• Diskreetti vs. jatkuva: jatkuvalla jakaumalla käytetään PDF:ää; diskreetille jakaumalle käytetään todennäköisyysmassafunktiota (PMF), jossa pisteiden todennäköisyydet ovat positiivisia ja summaavat yhteen.
• Numeerinen integrointi: käytännössä todennäköisyyksien ja momenttien laskeminen tapahtuu usein numeerisilla menetelmillä (esim. simpsonin sääntö, Monte Carlo) erityisesti monimutkaisille tiheysfunktioille.

Yhteenveto

Todennäköisyystiheysfunktio on perusväline jatkuvien satunnaismuuttujien mallintamisessa. Sen tärkeimpiä ominaisuuksia ovat ei-negatiivisuus ja normalisointi (integraali 1). Tiheydestä saadaan välin todennäköisyydet integroimalla, kertymäfunktio saadaan integroimalla tiheys, ja tiheys puolestaan saadaan kertymäfunktion derivaatasta, jos derivaatta on olemassa. Käytäntöön liittyy myös yhteis- ja ehdollisten tiheysfunktioiden, muuttujien muunnosten ja numeeristen menetelmien tuntemusta.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on todennäköisyystiheysfunktio?

K: Miten satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheysfunktio kirjoitetaan?

K: Mitä todennäköisyystiheysfunktion integraali edustaa?

Kysymys: Onko todennäköisyystiheysfunktio aina ei-negatiivinen koko alueellaan?

Kysymys: Saavuttaako integraatio intervalliin summa 1:n?

K: Minkä tyyppistä jakaumaa todennäköisyystiheysfunktio kuvaa?

Hae kirjaimella