Bijektio: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit
Bijektio: selkeä määritelmä, tärkeimmät ominaisuudet ja havainnollistavat esimerkit — opi 1‑1‑vastaavuuden teoria helposti ja käytännössä.
Matematiikassa bijektiivinen funktio tai bijektio on funktio f : A → B, joka on sekä injektio että surjektio. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle elementille b koodialueella B on täsmälleen yksi elementti a alueella A, jonka f(a)=b. Toinen nimi bijektiolle on 1-1 vastaavuus.
Nicholas Bourbaki otti käyttöön termin bijektio ja siihen liittyvät termit surjektio ja injektio. Hän ja joukko muita matemaatikkoja julkaisivat 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta.
Määritelmä ja perusominaisuudet
Lyhyesti: funktio f: A → B on bijektio, jos ja vain jos se on sekä injektiivinen (erilaiset lähtöarvot antavat erilaiset kuva-arvot) että surjektiivinen (jokainen B:n alkio on jonkin A:n alkion kuva). Bijektion seurauksena jokaisella b ∈ B on täsmälleen yksi a ∈ A siten, että f(a) = b.
Käänteisfunktio
Jokaisella bijektiolla on yksikäsitteinen käänteisfunktio f−1: B → A, joka määritellään siten, että f−1(b) = a silloin ja vain silloin, kun f(a) = b. Käänteisfunktiolle pätee f−1 ∘ f = idA ja f ∘ f−1 = idB, missä id tarkoittaa identiteettifunktiota. Käänteisfunktio on myös bijektio.
Luonnolliset tunnusmerkit ja vaihtoehtoiset karakterisoinnit
- Vasemmainen inversio: Jos jokin g: B → A toteuttaa g ∘ f = id_A, niin f on injektio.
- Oikea inversio: Jos jokin h: B → A toteuttaa f ∘ h = id_B, niin f on surjektio.
- Jos löytyy g siten, että sekä g ∘ f = id_A että f ∘ g = id_B, niin f on bijektio ja g = f−1.
- Bijektioilla on yksikäsitteinen inverssi — kaksi eri käänteisfunktiota ei voi olla.
Esimerkkejä
- Funktion f(n) = n + 1 määrittelyjoukkona Z (kokonaisluvut) ja maalijoukkona Z on bijektio: kaikille kokonaisluvuille löytyy täsmälleen yksi alkuperäinen luku.
- f(n) = 2n määrittelyjoukkona Z ja maalijoukkona parilliset kokonaisluvut on bijektio Z → 2Z (tämä näyttää, että äärettömässä joukossa osa voi olla samaa "suuruusluokkaa" kuin koko joukko).
- f(x) = ex on bijektio R → (0, ∞); käänteisfunktio on ln.
- f(x) = x3 on bijektio R → R, mutta f(x) = x2 ei ole bijektio R → R (ei-injektiivinen, koska x ja −x kuvaavat samaan arvoon, eikä surjektio, koska negatiiviset luvut eivät ole kuvia).
- Finteissä joukoissa bijektio olemassaolo on yhtä kuin joukoilla olevan alkioiden lukumäärän (kardinaliteetin) yhtäsuuruus: A ja B ovat samaa kokoluokkaa jos ja vain jos löytyy bijektio A → B.
- Pistematiesimerkki: permutaatio on bijektio joukosta A itsensä päälle; kaikki nämä muodustavat Sym(A)–ryhmän, jossa ryhmälaki on funktioiden yhdistäminen (kompositio).
Käyttö ja merkitys
Bijektioita käytetään laajasti matematiikan eri aloilla: ne määrittelevät, milloin kaksi joukkoa ovat "saman kokoisia" (kardinaliteetti), ne ilmaisevat yhden-moneen-vastaavuudet käänteisongelmissa, ja ne muodostavat perustan käsiteparille "isomorfia" eri rakenteissa (esim. algebraisissa rakenteissa ja kombinatoriikassa). Bijektioiden ominaisuudet tekevät niistä luonnollisia muunnoksia, joita voidaan peruuttaa ilman tiedonmenetystä.
Lyhyt todistus: bijektioilla on käänteisfunktio
Oletetaan f: A → B bijektio. Koska f on surjektio, jokaiselle b ∈ B löytyy ainakin yksi a ∈ A siten, että f(a) = b. Koska f on injektio, tämä a on yksikäsitteinen. Tällöin määrittelemme f−1(b) = a. Näin saatu f−1 toteuttaa f−1 ∘ f = id_A ja f ∘ f−1 = id_B, eli f−1 on käänteisfunktio. Toisinpäin, jos funktiolla on käänteisfunktio, se on selvästi sekä injektio että surjektio.
Huomioita merkinnästä
Muista, että merkintä f−1 voi joskus tarkoittaa myös originaalifunktion käänteiskuvaa (preimage) joukolle, esimerkiksi f−1(S) = { x ∈ A | f(x) ∈ S } joukolle S ⊆ B. Tämä ei ole sama kuin käänteisfunktio, ellei f ole bijektio. Kontekstista riippuen on hyvä varmistaa, kumpaa merkitystä käytetään.
Perusominaisuudet
Virallisesti:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
on bijektiivinen funktio, jos ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}
on olemassa yksikäsitteinen a ∈ A {\displaystyle a\in A}
siten, että f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementtiä b {\displaystyle b}
kutsutaan elementin a {\displaystyle a}
kuvaksi.
- Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokainen elementti on täsmälleen yhden elementin kuva alueesta A.
Elementtiä a {\displaystyle a} kutsutaan elementin b {\displaystyle b} esikuvaksi.
- Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokaisella elementillä on täsmälleen yksi esikuva alueella A.
Huomautus: Surjektio tarkoittaa vähintään yhtä esikuvaa. Injektio tarkoittaa enintään yhtä esikuvaa. Bijektio tarkoittaa siis täsmälleen yhtä esikuvaa.
Cardinality
Kardinaalisuus on joukon alkioiden lukumäärä. Joukon A={X,Y,Z,W} kardinaalisuus on 4. Kirjoitetaan #A=4.
- Määritelmä: Kahdella joukolla A ja B on sama kardinaalisuus, jos joukkojen välillä on bijektio. Siis #A=#B tarkoittaa, että joukosta A on bijektio joukkoon B.
Bijektionit ja käänteisfunktiot
- Bijektiot ovat käänteismuunnettavissa kääntämällä nuolet toisin päin. Uutta funktiota kutsutaan käänteisfunktioksi.
Virallisesti: Olkoon f : A → B bijektio. Käänteisfunktio g : B → A määritellään seuraavasti: jos f(a)=b, niin g(b)=a. (Katso myös käänteisfunktio.)
- Käänteisfunktion käänteisfunktio on alkuperäinen funktio.
- Funktiolla on käänteisfunktio, jos ja vain jos se on bijektio.
Huomautus: f:n käänteisfunktion merkintätapa on hämmentävä. Nimittäin,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}
tarkoittaa funktion f käänteisfunktiota, mutta x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
tarkoittaa luvun x käänteisarvoa.
Esimerkkejä
Alkeisfunktiot
Olkoon f(x):ℝ→ℝ reaaliarvoinen funktio y=f(x), jolla on reaaliarvoinen argumentti x. (Tämä tarkoittaa, että sekä tulo että lähtö ovat lukuja.)
- Graafinen merkitys: Funktio f on bijektio, jos jokainen vaakasuora viiva leikkaa f:n kuvaajan täsmälleen yhdessä pisteessä.
- Algebrallinen merkitys: Funktio f on bijektio, jos jokaiselle reaaliluvulle yo löytyy vähintään yksi reaaliluku xo siten, että yo =f(xo ) ja jos f(xo )=f(x1 ) tarkoittaa xo =x1 .
Funktion osoittaminen bijektioksi tarkoittaa, että todistetaan, että se on sekä surjektio että injektio. Formaalit todistukset ovat siis harvoin helppoja. Seuraavassa keskustelemme ja emme todista. (Katso surjektio ja injektio.)
Esimerkki: Lineaarinen funktio vinossa suorassa on bijektio. Eli y=ax+b, jossa a≠0 on bijektio.
Keskustelu: Jokainen vaakasuora viiva leikkaa vinon viivan täsmälleen yhdessä pisteessä (ks. surjektio ja injektio). Kuva 1.
Esimerkki: Kolmannen asteen polynomifunktio: f(x)=x3 on bijektio. Kuva 2 ja kuva 5 ohut keltainen käyrä. Sen käänteisluku on kuutiojuurifunktio f(x)= ∛x ja se on myös bijektio f(x):ℝ→ℝ. Kuva 5: paksu vihreä käyrä.
Esimerkki: Kvadraattinen funktio f(x) = x2 ei ole bijektio (alkaen ℝ→ℝ). Kuva 3. Se ei ole surjektio. Se ei ole injektio. Voimme kuitenkin rajoittaa sekä sen toimialueen että koodialueen ei-negatiivisten lukujen joukkoon (0,+∞) saadaksemme (käänteis)bijektion (ks. esimerkit alla).
Huomautus: Tämä viimeinen esimerkki osoittaa tämän. Määrittääksemme, onko funktio bijektio, meidän on tiedettävä kolme asiaa:
- verkkotunnus
- toimintakone
- yhteistoiminta-alue
Esimerkki: Oletetaan, että funktiokoneemme on f(x)=x².
- Tämä kone ja domain=ℝ ja codomain=ℝ ei ole surjektio eikä injektio. Kuitenkin,
- tämä sama kone ja domain=[0,+∞) ja codomain=[0,+∞) on sekä surjektio että injektio ja siten bijektio.
Bijektiot ja niiden käänteisluvut
Olkoon f(x):A→B, missä A ja B ovat ℝ:n osajoukkoja.
- Oletetaan, että f ei ole bijektio. Mille tahansa x:lle, jossa f:n derivaatta on olemassa ja joka ei ole nolla, on olemassa x:n lähialue, jossa voimme rajoittaa f:n toimialueen ja kanssa-alueen puolittaiseksi.
- Käänteisfunktioiden kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y=x suhteen. (Katso myös Käänteisfunktio.)
Esimerkki: Neliöfunktio, joka on määritelty rajoitetulla alueella ja koodialueella [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}
määritelty f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 
on bijektio. Kuva 6: ohut keltainen käyrä.
Esimerkki: Neliöjuurifunktio, joka on määritelty rajoitetulla alueella ja koodialueella [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} määritelty f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 
on bijektio, joka on määritelty kvadraattisen funktion käänteisfunktiona: x2 . Kuva 6: paksu vihreä käyrä.
Esimerkki: Eksponenttifunktio, joka on määritelty alueelle ℝ ja rajoitetulle koodialueelle (0,+∞).
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )}
määritelty seuraavasti: f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,\,a>1} 
on bijektio. Kuva 4: ohut keltainen käyrä (a=10).
Esimerkki: Logaritmifunktio base a, joka on määritelty rajoitetulla alueella (0,+∞) ja koodialueella ℝ.
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} }
määritelty seuraavasti: f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} 
on bijektio, joka määritellään eksponenttifunktion käänteisfunktiona: ax . Kuva 4: paksu vihreä käyrä (a=10).
| Bijektio: jokainen pystysuora viiva (toimialueella) ja jokainen vaakasuora viiva (kaava-alueella) leikkaavat täsmälleen yhden kuvaajan pisteen. | ||
|
1. Bijektion. Kaikki vinoviivat ovat bijektioita f(x):ℝ→ℝ. |
2. Bijektio. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Ei bijektio. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² ei ole surjektio. Se ei ole injektio. |
|
4. Bijektorit. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (ohut keltainen) ja sen käänteisluku f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (paksu vihreä). |
5. Bijektorit. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (ohut keltainen) ja sen käänteisluku f(x)=∛x (paksu vihreä). |
6. Bijektorit. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (ohut keltainen) ja sen käänteisluku f(x)=√x (paksu vihreä). |
Aiheeseen liittyvät sivut
- Toiminto (matematiikka)
- Surjektiivinen funktio
- Injektiivinen funktio
- Käänteisfunktio
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on bijektiivinen funktio?
A: Bijektiivinen funktio, joka tunnetaan myös nimellä bijektio, on matemaattinen funktio, joka on sekä injektio että surjektio.
K: Mitä tarkoittaa, että funktio on injektio?
V: Injektio tarkoittaa sitä, että jos f(a)=f(a') on minkä tahansa alueen A kahden alkion a ja a' tapauksessa a=a'.
K: Mitä tarkoittaa, että funktio on surjektio?
V: Surjektio tarkoittaa, että jokaiselle elementille b koodialueella B on olemassa vähintään yksi elementti a alueessa A siten, että f(a)=b.
K: Mikä on vastaava lauseke bijektiolle?
V: Bijektion ekvivalenttilauseke on, että jokaiselle elementille b koodialueella B on täsmälleen yksi elementti a alueella A, jonka f(a)=b.
K: Mikä on toinen nimi bijektiolle?
V: Bijektio tunnetaan myös nimellä "1-1 vastaavuus" tai "yksi yhteen vastaavuus".
K: Kuka otti käyttöön termit bijektio, surjektio ja injektio?
V: Termit bijektio, surjektio ja injektio otti käyttöön Nicolas Bourbaki ja joukko muita matemaatikkoja 1930-luvulla.
K: Mitä Bourbaki ja muut matemaatikot julkaisivat 1930-luvulla?
V: Bourbaki ja muut matemaatikot julkaisivat sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta.
Etsiä