Surjektio — surjektiivinen funktio: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit
Oppaassa: surjektio (surjektiivinen funktio) — selkeä määritelmä, tärkeimmät ominaisuudet ja havainnollistavat esimerkit askel askeleelta.
Matematiikassa surjektiivinen tai onto-funktio on funktio f : A → B, jolla on seuraava ominaisuus. Jokaiselle alkiolle b koodialueella B on vähintään yksi alkioluku a alueessa A, joka on sellainen, että f(a) = b. Toisin sanoen funktion kuva eli kuva-alue f(A) on koko koodialue B (merkitään f(A) = B). Tämä tarkoittaa, että jokainen koodialueen alkio saa ainakin yhden esikuvan määrittelyjoukossa.
Määritelmän selvennys ja merkintätavat
Lyhyesti sanottuna: f on surjektio, jos f(A) = B. Surjektiivisuutta voi merkitä esimerkiksi myös nuolella, joka osoittaa "päälle": f : A ↠ B. Termiä kuvaa käytetään usein vastakohtana injektiolle ja yhdessä niiden kanssa puhuttaessa bijektiosta (bijektio tarkoittaa sekä injektiivistä että surjektiivistä funktiota).
Miten todistaa, että funktio on surjektio
- Antamalla yleinen menetelmä: olkoon b mielivaltainen alkio koodialueesta B. Ratkaise yhtälö f(a) = b ja näytä, että tälle yhtälölle on aina vähintään yksi ratkaisu a ∈ A.
- Esimerkkimuotoilu: funktio f(x)=x^3 määriteltynä f: ℝ → ℝ on surjektio, koska jokaista reaalilukua y varten yhtälöllä x^3 = y on reaalinen ratkaisu x = y^(1/3).
- Jos haluat näyttää, että funktio ei ole surjektio, riittää antaa yksi koodialueen alkio, jolla ei ole esikuvaa. Esimerkiksi g(x)=e^x määriteltynä g: ℝ → ℝ ei ole surjektio, koska negatiivisia lukuja ei saada kuva-arvoksi.
Ominaisuuksia ja johtopäätöksiä
- Kokoonpano: Jos f: A → B ja g: B → C ovat surjektiivisia, niin koostefunktio g ∘ f : A → C on myös surjektiivinen.
- Ei vaadi injektiivisyyttä: Surjektio ei välttämättä ole injektio; eri alkioilla voi olla sama kuva.
- Oikean käänteisfunktion olemassaolo: Jos f on surjektio, voidaan valita jokaista b ∈ B kohti jokin esikuva a ∈ A ja määritellä funktio g: B → A siten, että f(g(b)) = b kaikilla b. Tällainen g on oikea käänteisfunktio (right-inverse). Huomaa, että valintojen tekeminen yleisessä tapauksessa saattaa vaatia valintaperiaatetta (aksiooma valinnasta).
- Linjaarialgebra: Lineaarikuvauksella V → W surjektiivisuus tarkoittaa, että kuvan dimensio (ranka) on yhtä suuri kuin kohdeavaruuden dimensiot: rank(f) = dim W.
- Loppujen ja alkioiden lukumäärä (finitoiset joukot): Jos A ja B ovat äärellisiä, niin funktio A → B on surjektio vain jos |A| ≥ |B|. Lisäksi, jos |A| = |B|, niin surjektio, injektio ja bijektio ovat samankaltaisia vaatimuksia (yksi niistä pitää, kaikki pitävät).
Esimerkkejä
- f: ℝ → ℝ, f(x) = x^3 — surjektio (ja itse asiassa bijektio).
- h: ℝ → ℝ, h(x) = x^2 — ei surjektio, koska negatiivisia lukuja ei saada kuva-arvoiksi (mutta h: ℝ → [0,∞) olisi surjektio).
- p: ℤ → ℤ_n määriteltynä p(k) = k mod n — surjektio (jokaisella jäännösluokalla on esikuva).
- Lineaarikartta A: ℝ^3 → ℝ^2 on surjektio silloin kun sen sarakeavaruuden dimensio on 2 eli A:n rivi- tai sarakevektorit span:avat koko ℝ^2:n.
Historia ja etymologia
Termi surjektio ja siihen liittyvät termit injektio ja bijektio otettiin käyttöön Nicholas Bourbakiksi kutsutun matemaatikkoryhmän toimesta. Tämä matemaatikkoryhmä julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta. Ranskankielinen etuliite sur tarkoittaa yläpuolella tai päälle, ja se valittiin, koska surjektiivinen funktio "peittää" tai siirtää määrittelyjoukkonsa koodialueeseen siten, että kuva-alue kattaa koko koodialueen.
Yhteenveto
Surjektio on peruskäsite funktioteoriassa: funktio on surjektio silloin, kun jokaisella koodialueen alkioilla on ainakin yksi esikuva määrittelyjoukossa. Surjektiivisuus on tärkeä ominaisuus muun muassa ratkaisujen olemassaolon, lineaarikuvauksien rankin sekä funktioiden koostumisten ja käänteisfunktioiden kannalta.
Perusominaisuudet
Virallisesti:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} on
surjektiivinen funktio, jos ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\exists a\in A} siten, 
että f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementtiä b {\displaystyle b}
kutsutaan elementin a {\displaystyle a}
kuvaksi.
- Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokainen elementti on vähintään yhden alueen A elementin kuva.
Elementtiä a {\displaystyle a} kutsutaan elementin b {\displaystyle b} esikuvaksi.
- Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokaisella elementillä on vähintään yksi esikuva alueella A.
Esikuvan ei tarvitse olla ainutlaatuinen. Ylimmässä kuvassa sekä {X} että {Y} ovat elementin {1} esikuvia. Tärkeää on vain, että esikuvia on vähintään yksi. (Katso myös: Injektiivinen funktio, Bijektiivinen funktio)
Esimerkkejä
Alkeisfunktiot
Olkoon f(x):ℝ→ℝ reaaliarvoinen funktio y=f(x), jolla on reaaliarvoinen argumentti x. (Tämä tarkoittaa, että sekä tulo että lähtö ovat lukuja.)
- Graafinen merkitys: Funktio f on surjektio, jos jokainen vaakasuora viiva leikkaa f:n kuvaajan vähintään yhdessä pisteessä.
- Analyyttinen merkitys: Funktio f on surjektio, jos jokaiselle reaaliluvulle yo löytyy vähintään yksi reaaliluku xo, jonka tapauksessa y=fo(xo).
Esikuvan xo löytäminen tietylle yo:lle vastaa kumpaakin kysymystä:
- Onko yhtälöllä f(x)-y=0o ratkaisu? tai
- Onko funktiolla f(x)-yo juuri?
Matematiikassa voimme löytää tarkat (analyyttiset) juuret vain ensimmäisen, toisen (ja kolmannen) asteen polynomeista. Kaikkien muiden funktioiden juuret löydetään likimääräisesti (numeerisesti). Tämä tarkoittaa, että surjektiivisuuden muodollinen todistaminen on harvoin suoraa. Alla olevat keskustelut ovat siis epävirallisia.
Esimerkki: Lineaarinen funktio on viistoon. Eli y=ax+b, jossa a≠0 on surjektio. (Se on myös injektio ja siten bijektio.)
Todiste: Koska a≠0, saadaan x= (y-boo)/a. Tämä tarkoittaa, että x=o(y-bo)/a on yo:n esikuva. Tämä todistaa, että funktio y=ax+b, jossa a≠0 on surjektio. (Koska esikuvia on täsmälleen yksi, tämäkin funktio on injektio.)
Käytännön esimerkki: y= -2x+4. Mikä on y=2:n esikuva? Ratkaisu: Tässä a= -2, eli a≠0 ja kysymys kuuluu: Mille x:lle y=2 on? Korvaamme y=2 funktiolla. Saamme x=1, eli y(1)=2. Vastaus on siis: x=1 on y=2:n esikuva.
Esimerkki: Kuutiopolynomi (kolmannen asteen) f(x)=x-3x3 on surjektio.
Keskustelu: Kuutioyhtälöllä x-3x-y=03o on reaaliset kertoimet (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Jokaisella tällaisella kuutioyhtälöllä on vähintään yksi reaalijuuri. Koska polynomin toimialue on ℝ, tarkoittaa se, että toimialueella on ainakin yksi esikuva xo. Eli (x0)3-3x-y=00o. Funktio on siis surjektio. (Tämä funktio ei kuitenkaan ole injektio. Esimerkiksi y=2o:lla on 2 esikuvaa: x=-1 ja x=2. Itse asiassa jokaisella y:llä, -2≤y≤2, on vähintään 2 esikuvaa).
Esimerkki: Kvadraattinen funktio f(x) = x2 ei ole surjektio. Ei ole olemassa sellaista x:ää, että x 2= -1. x²:n alue on [0,+∞) eli ei-negatiivisten lukujen joukko. (Tämä funktio ei myöskään ole injektio.)
Huomautus: Ei-surjektiivisesta funktiosta voidaan tehdä surjektio rajoittamalla sen koodialue sen alueen alkioihin. Esimerkiksi uusi funktio fN(x):ℝ → [0,+∞), jossa fN(x) = x2, on surjektiivinen funktio. (Tämä ei ole sama asia kuin funktiota rajoittava restriktio, joka rajoittaa aluetta!)
Esimerkki: Eksponenttifunktio f(x) = 10x ei ole surjektio. Alue on 10x(0,+∞) eli positiivisten lukujen joukko. (Tämä funktio on injektio.)
|
Surjektio. f(x):ℝ→ℝ (ja injektio). |
Surjektio. f(x):ℝ→ℝ (ei injektio). |
Ei surjektio. f(x):ℝ→ℝ (eikä injektio). |
|
Ei surjektio. f(x):ℝ→ℝ (mutta on injektio) |
Surjektio. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja injektio) |
Surjektio. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Kuvasta nähdään, että z=2:n esikuva on suora y=2.) |
Muita esimerkkejä reaaliarvoisista funktioista
Esimerkki: f(x)=log(x) tai y=log10(x) on surjektio (ja injektio). (Tämä on 10x:n käänteisfunktio).
- Kartesiolaisen tulon A × B projektio johonkin sen tekijöistä on surjektio.
Esimerkki: Funktio f((x,y)):ℝ²→ℝ, joka määritellään z=y, on surjektio. Sen kuvaaja on taso 3-ulotteisessa avaruudessa. Zo:n esikuva on suora y=zo xy-tasossa. 0
- 3D-peleissä kolmiulotteinen tila heijastetaan kaksiulotteiselle näytölle surjektiolla.
Aiheeseen liittyvät sivut
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on surjektiivinen funktio matematiikassa?
A: Matematiikassa surjektiivinen funktio on funktio f: A → B, jolla on ominaisuus, että jokaiselle elementille b koodialueella B on vähintään yksi elementti a alueessa A, jonka f(a)=b.
Kysymys: Mikä on surjektiivisen funktion merkitys matematiikassa?
V: Surjektiivinen funktio varmistaa, että yksikään kodomainin elementti ei ole kartoittamaton ja että f:n alue ja kodomain ovat sama joukko.
K: Mistä termi surjektio on peräisin?
V: Termi surjektio otettiin käyttöön Nicholas Bourbaki -nimisen matemaatikkoryhmän toimesta.
K: Mitä tarkoittaa ranskankielinen etuliite sur sanassa surjektiivi?
V: Ranskalainen etuliite sur tarkoittaa yläpuolella tai päälle.
K: Miksi termi surjektiivinen valittiin tällaiselle funktiolle?
V: Termi surjektiivinen valittiin tämäntyyppiselle funktiolle, koska surjektiivinen funktio kuvaa toimialuettaan yhteistoiminta-alueeseensa.
K: Kuka julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta?
V: Nicholas Bourbaki -niminen matemaatikkojen ryhmä julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta.
K: Mitä ovat injektio ja bijektio matematiikassa?
V: Injektio ja bijektio ovat matematiikan surjektioon liittyviä termejä. Injektiofunktio varmistaa, että yksikään alueen kaksi alkiota ei vastaa samaa alkiota koodialueella. Bijektiofunktio on sekä surjektiivinen että injektiivinen.
Etsiä