Matematiikassa surjektiivinen tai onto-funktio on funktio f : A → B, jolla on seuraava ominaisuus. Jokaiselle alkiolle b koodialueella B on vähintään yksi alkioluku a alueessa A, joka on sellainen, että f(a) = b. Toisin sanoen funktion kuva eli kuva-alue f(A) on koko koodialue B (merkitään f(A) = B). Tämä tarkoittaa, että jokainen koodialueen alkio saa ainakin yhden esikuvan määrittelyjoukossa.

Määritelmän selvennys ja merkintätavat

Lyhyesti sanottuna: f on surjektio, jos f(A) = B. Surjektiivisuutta voi merkitä esimerkiksi myös nuolella, joka osoittaa "päälle": f : A ↠ B. Termiä kuvaa käytetään usein vastakohtana injektiolle ja yhdessä niiden kanssa puhuttaessa bijektiosta (bijektio tarkoittaa sekä injektiivistä että surjektiivistä funktiota).

Miten todistaa, että funktio on surjektio

  • Antamalla yleinen menetelmä: olkoon b mielivaltainen alkio koodialueesta B. Ratkaise yhtälö f(a) = b ja näytä, että tälle yhtälölle on aina vähintään yksi ratkaisu a ∈ A.
  • Esimerkkimuotoilu: funktio f(x)=x^3 määriteltynä f: ℝ → ℝ on surjektio, koska jokaista reaalilukua y varten yhtälöllä x^3 = y on reaalinen ratkaisu x = y^(1/3).
  • Jos haluat näyttää, että funktio ei ole surjektio, riittää antaa yksi koodialueen alkio, jolla ei ole esikuvaa. Esimerkiksi g(x)=e^x määriteltynä g: ℝ → ℝ ei ole surjektio, koska negatiivisia lukuja ei saada kuva-arvoksi.

Ominaisuuksia ja johtopäätöksiä

  • Kokoonpano: Jos f: A → B ja g: B → C ovat surjektiivisia, niin koostefunktio g ∘ f : A → C on myös surjektiivinen.
  • Ei vaadi injektiivisyyttä: Surjektio ei välttämättä ole injektio; eri alkioilla voi olla sama kuva.
  • Oikean käänteisfunktion olemassaolo: Jos f on surjektio, voidaan valita jokaista b ∈ B kohti jokin esikuva a ∈ A ja määritellä funktio g: B → A siten, että f(g(b)) = b kaikilla b. Tällainen g on oikea käänteisfunktio (right-inverse). Huomaa, että valintojen tekeminen yleisessä tapauksessa saattaa vaatia valintaperiaatetta (aksiooma valinnasta).
  • Linjaarialgebra: Lineaarikuvauksella V → W surjektiivisuus tarkoittaa, että kuvan dimensio (ranka) on yhtä suuri kuin kohdeavaruuden dimensiot: rank(f) = dim W.
  • Loppujen ja alkioiden lukumäärä (finitoiset joukot): Jos A ja B ovat äärellisiä, niin funktio A → B on surjektio vain jos |A| ≥ |B|. Lisäksi, jos |A| = |B|, niin surjektio, injektio ja bijektio ovat samankaltaisia vaatimuksia (yksi niistä pitää, kaikki pitävät).

Esimerkkejä

  • f: ℝ → ℝ, f(x) = x^3 — surjektio (ja itse asiassa bijektio).
  • h: ℝ → ℝ, h(x) = x^2 — ei surjektio, koska negatiivisia lukuja ei saada kuva-arvoiksi (mutta h: ℝ → [0,∞) olisi surjektio).
  • p: ℤ → ℤ_n määriteltynä p(k) = k mod n — surjektio (jokaisella jäännösluokalla on esikuva).
  • Lineaarikartta A: ℝ^3 → ℝ^2 on surjektio silloin kun sen sarakeavaruuden dimensio on 2 eli A:n rivi- tai sarakevektorit span:avat koko ℝ^2:n.

Historia ja etymologia

Termi surjektio ja siihen liittyvät termit injektio ja bijektio otettiin käyttöön Nicholas Bourbakiksi kutsutun matemaatikkoryhmän toimesta. Tämä matemaatikkoryhmä julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta. Ranskankielinen etuliite sur tarkoittaa yläpuolella tai päälle, ja se valittiin, koska surjektiivinen funktio "peittää" tai siirtää määrittelyjoukkonsa koodialueeseen siten, että kuva-alue kattaa koko koodialueen.

Yhteenveto

Surjektio on peruskäsite funktioteoriassa: funktio on surjektio silloin, kun jokaisella koodialueen alkioilla on ainakin yksi esikuva määrittelyjoukossa. Surjektiivisuus on tärkeä ominaisuus muun muassa ratkaisujen olemassaolon, lineaarikuvauksien rankin sekä funktioiden koostumisten ja käänteisfunktioiden kannalta.