Surjektio

Matematiikassa surjektiivinen tai onto-funktio on funktio f : A → B, jolla on seuraava ominaisuus. Jokaiselle alkiolle b koodialueella B on vähintään yksi alkioluku a alueessa A, joka on sellainen, että f(a)=b. Tämä tarkoittaa, että f:n alue ja koodialue ovat sama joukko.

Termi surjektio ja siihen liittyvät termit injektio ja bijektio otettiin käyttöön Nicholas Bourbakiksi kutsutun matemaatikkoryhmän toimesta. Tämä matemaatikkoryhmä julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta. Ranskankielinen etuliite sur tarkoittaa yläpuolella tai päälle, ja se valittiin, koska surjektiivinen funktio siirtää alueensa koodialueeseensa.

Perusominaisuudet

Virallisesti:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} on $f:A\rightarrow B$ surjektiivinen funktio, jos ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\exists a\in A} siten, $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ että f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementtiä b {\displaystyle b} $b$ kutsutaan elementin a {\displaystyle a} kuvaksi.

Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokainen elementti on vähintään yhden alueen A elementin kuva.

Elementtiä a {\displaystyle a} kutsutaan elementin b {\displaystyle b} $b$ esikuvaksi.

Muodollinen määritelmä tarkoittaa: B:n jokaisella elementillä on vähintään yksi esikuva alueella A.

Esikuvan ei tarvitse olla ainutlaatuinen. Ylimmässä kuvassa sekä {X} että {Y} ovat elementin {1} esikuvia. Tärkeää on vain, että esikuvia on vähintään yksi. (Katso myös: Injektiivinen funktio, Bijektiivinen funktio)

Esimerkkejä

Alkeisfunktiot

Olkoon f(x):ℝ→ℝ reaaliarvoinen funktio y=f(x), jolla on reaaliarvoinen argumentti x. (Tämä tarkoittaa, että sekä tulo että lähtö ovat lukuja.)

Graafinen merkitys: Funktio f on surjektio, jos jokainen vaakasuora viiva leikkaa f:n kuvaajan vähintään yhdessä pisteessä.
Analyyttinen merkitys: Funktio f on surjektio, jos jokaiselle reaaliluvulle y_o löytyy vähintään yksi reaaliluku x_o, jonka tapauksessa y=f_o(x_o).

Esikuvan x_o löytäminen tietylle y_o:lle vastaa kumpaakin kysymystä:

Onko yhtälöllä f(x)-y=0_o ratkaisu? tai
Onko funktiolla f(x)-y_o juuri?

Matematiikassa voimme löytää tarkat (analyyttiset) juuret vain ensimmäisen, toisen (ja kolmannen) asteen polynomeista. Kaikkien muiden funktioiden juuret löydetään likimääräisesti (numeerisesti). Tämä tarkoittaa, että surjektiivisuuden muodollinen todistaminen on harvoin suoraa. Alla olevat keskustelut ovat siis epävirallisia.

Esimerkki: Lineaarinen funktio on viistoon. Eli y=ax+b, jossa a≠0 on surjektio. (Se on myös injektio ja siten bijektio.)

Todiste: Koska a≠0, saadaan x= (y-b_oo)/_a. Tämä tarkoittaa, että x=_o(y-b_o)/_a on y_o:n esikuva. Tämä todistaa, että funktio y=ax+b, jossa a≠0 on surjektio. (Koska esikuvia on täsmälleen yksi, tämäkin funktio on injektio.)

Käytännön esimerkki: y= -2x+4. Mikä on y=2:n esikuva? Ratkaisu: Tässä a= -2, eli a≠0 ja kysymys kuuluu: Mille x:lle y=2 on? Korvaamme y=2 funktiolla. Saamme x=1, eli y(1)=2. Vastaus on siis: x=1 on y=2:n esikuva.

Esimerkki: Kuutiopolynomi (kolmannen asteen) f(x)=x-3x³ on surjektio.

Keskustelu: Kuutioyhtälöllä x-3x-y=0³_o on reaaliset kertoimet (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Jokaisella tällaisella kuutioyhtälöllä on vähintään yksi reaalijuuri. Koska polynomin toimialue on ℝ, tarkoittaa se, että toimialueella on ainakin yksi esikuva x_o. Eli (x₀)³-3x-y=0_0o. Funktio on siis surjektio. (Tämä funktio ei kuitenkaan ole injektio. Esimerkiksi y=2_o:lla on 2 esikuvaa: x=-1 ja x=2. Itse asiassa jokaisella y:llä, -2≤y≤2, on vähintään 2 esikuvaa).

Esimerkki: Kvadraattinen funktio f(x) = x² ei ole surjektio. Ei ole olemassa sellaista x:ää, että x ²= -1. x²:n alue on [0,+∞) eli ei-negatiivisten lukujen joukko. (Tämä funktio ei myöskään ole injektio.)

Huomautus: Ei-surjektiivisesta funktiosta voidaan tehdä surjektio rajoittamalla sen koodialue sen alueen alkioihin. Esimerkiksi uusi funktio f_N(x):ℝ → [0,+∞), jossa f_N(x) = x², on surjektiivinen funktio. (Tämä ei ole sama asia kuin funktiota rajoittava restriktio, joka rajoittaa aluetta!)

Esimerkki: Eksponenttifunktio f(x) = 10^x ei ole surjektio. Alue on 10^x(0,+∞) eli positiivisten lukujen joukko. (Tämä funktio on injektio.)

Surjektio. f(x):ℝ→ℝ (ja injektio).

Surjektio. f(x):ℝ→ℝ (ei injektio).

Ei surjektio. f(x):ℝ→ℝ (eikä injektio).

Ei surjektio. f(x):ℝ→ℝ (mutta on injektio)

Surjektio. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja injektio)

Surjektio. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Kuvasta nähdään, että z=2:n esikuva on suora y=2.)

Muita esimerkkejä reaaliarvoisista funktioista

Esimerkki: f(x)=log(x) tai y=log₁₀(x) on surjektio (ja injektio). (Tämä on 10^x:n käänteisfunktio).

Kartesiolaisen tulon A × B projektio johonkin sen tekijöistä on surjektio.

Esimerkki: Funktio f((x,y)):ℝ²→ℝ, joka määritellään z=y, on surjektio. Sen kuvaaja on taso 3-ulotteisessa avaruudessa. Z_o:n esikuva on suora y=z_o xy-tasossa. 0

3D-peleissä kolmiulotteinen tila heijastetaan kaksiulotteiselle näytölle surjektiolla.

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on surjektiivinen funktio matematiikassa?

A: Matematiikassa surjektiivinen funktio on funktio f: A → B, jolla on ominaisuus, että jokaiselle elementille b koodialueella B on vähintään yksi elementti a alueessa A, jonka f(a)=b.

Kysymys: Mikä on surjektiivisen funktion merkitys matematiikassa?

V: Surjektiivinen funktio varmistaa, että yksikään kodomainin elementti ei ole kartoittamaton ja että f:n alue ja kodomain ovat sama joukko.

K: Mistä termi surjektio on peräisin?

V: Termi surjektio otettiin käyttöön Nicholas Bourbaki -nimisen matemaatikkoryhmän toimesta.

K: Mitä tarkoittaa ranskankielinen etuliite sur sanassa surjektiivi?

V: Ranskalainen etuliite sur tarkoittaa yläpuolella tai päälle.

K: Miksi termi surjektiivinen valittiin tällaiselle funktiolle?

V: Termi surjektiivinen valittiin tämäntyyppiselle funktiolle, koska surjektiivinen funktio kuvaa toimialuettaan yhteistoiminta-alueeseensa.

K: Kuka julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta?

V: Nicholas Bourbaki -niminen matemaatikkojen ryhmä julkaisi 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta.

K: Mitä ovat injektio ja bijektio matematiikassa?

V: Injektio ja bijektio ovat matematiikan surjektioon liittyviä termejä. Injektiofunktio varmistaa, että yksikään alueen kaksi alkiota ei vastaa samaa alkiota koodialueella. Bijektiofunktio on sekä surjektiivinen että injektiivinen.