Muodollisesti lineaarinen funktio on sellainen funktio f(x):R→R, että f:n kuvaaja on suora. Tämä tarkoittaa, että f:n alue eli tuloalue on reaaliluku R ja f:n alue eli lähtöalue on myös reaaliluku R. Yleensä f(x):n sijasta kirjoitetaan y(x) tai vain y. Muodollinen lauseke tarkoittaa siis:
- syötämme tai korvaamme reaaliluvun x lineaariseen funktioon
- lineaarinen funktio tuottaa tai antaa reaaliluvun y ja
- kaikki nämä pisteet (x,y) muodostavat viivan.
Lineaarisia funktioita voidaan kirjoittaa kolmessa eri muodossa: kaltevuus, vakio ja parametrinen.
Kaltevuuden leikkauspisteen muoto
Lineaarisen funktion kaltevuus- ja leikkauskulma (jota kutsutaan myös piste-kaltevuudeksi tai eksplisiittiseksi muodoksi) on y ( x ) = m x + b {\displaystyle y(x)=mx+b}
tai y = m x + b {\displaystyle y=mx+b}
. Tässä muodossa on 2 muuttujaa x ja у sekä 2 vakiota m ja b.
- Kirjaimet m ja b ovat vakioita. Ennen kuin työskentelemme lineaarisen funktion kanssa, korvaamme m:n ja b:n todellisilla reaaliluvuilla.
- Kirjaimet x ja y ovat muuttujia.
- Vaakaviivat ovat mukana. Suora on vaakasuora, jos ja vain jos m=0. Silloin on vain y=b. Koska b on reaaliluku, kyseessä on vakiofunktio. Vakiofunktio on siis myös lineaarinen funktio.
- Pystyviivoja ei koskaan oteta mukaan, koska pystyviiva ei ole funktio. Pystyviiva ei läpäise pystyviivatestiä. (Pystysuora määritellään yhtälöllä x=b, jossa b on reaaliluku.)
- Vinot viivat ovat mukana. Viiva on vino, jos ja vain jos m≠0.
- Kaltevuuden leikkauspisteen muoto on ainutlaatuinen. Eri m:n arvo tai eri b:n arvo antaa eri suoran.
- Lineaarinen funktio on ensimmäisen tai nolla-asteen polynomifunktio yhdessä muuttujassa х .
- Vakiotermi on b. Jos korvataan funktio x=0, saadaan y=b. Luku b on siis y-katkoviiva ja suora leikkaa у-akselin pisteessä (0,b).
- Jos m≠0, luku–b /m on x-välin leikkauspiste tai juuri tai nolla ja (–b /m ,0) on piste, jossa suora ylittää х-akselin. Tässä funktion arvo on nolla.
- Kertoimen x kerrointa m kutsutaan suoran kaltevuudeksi tai kaltevuudeksi. Jokaisella suoralla luku m on vakio, joten kaltevuus on vakio koko suoralla. Kaltevuus määrittää sekä suoran suunnan että jyrkkyyden. Suuntaa ja jyrkkyyttä kutsutaan muutosnopeudeksi. Muutosnopeus on siis m ja se on vakio jokaiselle suoralle.
- Suunnan määrää m:n merkki. Jos m>0, lineaarinen funktio on kasvava; jos m<0, funktio on laskeva.
- Jyrkkyys määräytyy m:n absoluuttisen arvon perusteella. Jos |m|<1, kaltevuus on loiva; jos |m|>1, kaltevuus on jyrkkä.
- Jos suoran kaltevuus on m ja (х,у) on jokin piste suoralla, myös piste (х+1, y+m) on oltava suoralla.
Esimerkki: y=-2x+4. Kaltevuus on m= -2 ja y-piste on b=4 eli piste (0,4). Korvaamalla y=0 ja ratkaisemalla x:n suhteen saadaan 0=-2x+4 tai x=2. Eli x=2 on tämän lineaarisen funktion juuri ja piste (2,0) on x-piste. Koska kaltevuus on m = -2, suora on laskeva. Koska |-2|=2>1, lasku on suhteellisen jyrkkä. Jokaisella х:n muutoksella 1 (oikealle) у:n arvo muuttuu -2 (laskee).
- Viivan kuvaaja määräytyy kahden pisteen perusteella. Lineaarisen funktion kuvaajaa varten voimme korvata funktion kahdella eri x-arvolla ja ratkaista vastaavat y-arvot. Kuvaamme nämä kaksi pistettä graafisesti. Piirretään viivoitinta käyttäen näiden kahden pisteen läpi viiva, joka jatkuu molempien pisteiden ohi.
Esimerkki: y=-2x+4. Korvaamalla x=0 saadaan y=4 (tämä on y-pisteen leikkauspiste) ja siten piste (0,4). Korvaamalla x=1 saadaan y=2 ja siten piste (1,2). Piirrä nämä pisteet ja piirrä suora. (Huomaa, että 2. piste on 1 pisteen oikealla puolella ja 2 pisteen alapuolella 1. pisteestä). Kuten sanoimme edellä olevassa esimerkissä, tämä johtuu siitä, että kaltevuus on m= -2.)
- Lineaarinen funktio, joka ei ole vakiofunktio, on bijektio. Se tuottaa jokaisen reaaliluvun (surjektio) täsmälleen yhdelle tuloarvolle (injektio).
Esimerkki: y= -x+2. Oletetaan, että y= -1. Korvataan y= -1 ja saadaan: -1= -'x+2 tai x=3. Tämä on ainoa ratkaisu. Tämä voidaan tehdä mille tahansa y-arvolle.
Vakiolomake
A x + B y = C , B ≠ 0 {\displaystyle Ax+By=C,\,B\neq 0}
.
- Vakiomuodossa on kaksi muuttujaa x ja у sekä kolme vakiota A, B ja C, jotka korvataan todellisilla reaaliluvuilla ennen työskentelyä. Tätä muotoa käytetään usein geometriassa ja lineaaristen yhtälöiden järjestelmissä.
Esimerkki: Lineaarinen funktio 3x-2y=1 on vakiomuodossa. Vakiot ovat A=3, B=-2 ja C=1.
- Tämä muoto kirjoitetaan joskus seuraavasti: A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0}
. Sen sijaan, että kirjoitetaan 3x-2y=1, kirjoitetaan vastaava yhtälö 3x-2y-1=0. - Vakiot A, B ja C eivät ole yksiselitteisesti määritettävissä. Jos ne kerrotaan kertoimella k, vakioiden arvo muuttuu, mutta viiva on edelleen sama.
Esimerkki: Suorat 3x-2y=1 ja 6x-4y=2 ovat yhtenevät (sama suora). Tässä tapauksessa tekijä on: k=2. Kerroimme ensimmäisen yhtälön luvulla 2 saadaksemme toisen yhtälön. Tämän suoran yksikäsitteinen kaltevuuden leikkauspisteen muoto on: y=1,5x-0,5 (ratkaise jompikumpi yhtälö y:lle).
Vektoriparametrinen muoto
Parametrinen muoto: { x ( t ) = x 1 + a 1 t y ( t ) = y 1 + a 2 t a 1 ≠ 0 , t ∈ R {\displaystyle \left\{\begin{array}{*{20}{l}}}{x(t)={x_{1}}}+{a_{1}}}t}\\\\{y(t)={y_{1}}+{a_{2}}t}\end{array}}\right.\,{a_{1}\neq 0}\,,\,t\in \mathbb {R} }
tai
Vektorimuoto: X = ( x 1 , y 1 ) + t ( a 1 , a 2 ) {\displaystyle {\mathbf {X} }=({x_{1}},{y_{1}})+t({a_{1}}},{a_{2}})}
tai r ( t ) = < x 1 + a 1 t , y 1 + a 2 t > , a 1 ≠ 0 , t ∈ R {\displaystyle r(t)=\,<x_{1}+a_{1}t,\,y_{1}+a_{2}t>\,\,\,{a_{1}\neq 0}\,\,\,t\in \mathbb {R} } 
.
- Parametrisessa tai vektori- tai vektori-parametrisessa muodossa on 1 parametri t, 2 muuttujaa x ja у ja 4 vakiota a1 , a2 , x1 ja y1 . Kertoimet a1 , a2 , x1 ja y1 eivät ole yksikäsitteisesti määritettyjä. Suora kulkee pisteiden А=(x1 ,y1 ) ja B=(x1 +a1 ,y1 +a2 ) kautta, joten jos otetaan jokin muu piste tai jopa vain käännetään pisteiden järjestys, saadaan samalle suoralle eri vakiot.
- Parametri t ei näy kuvaajassa.
- Insinöörit käyttävät parametrista yleensä kirjainta t. Matemaatikot käyttävät usein kreikkalaista kirjainta λ.
Esimerkki: X=(-1,1)+t(2,3), t∈R on vektorimuotoinen viiva. Tässä: a1 =2, a2 =3, x1 =-1 ja x2 =1. Suora kulkee pisteiden (x1 ,y1 )=(-1,1) ja (x1 +a1 ,y1 +a2 )=(1,4) kautta. Tätä suoraa vastaava parametrimuoto on: x(t)= -1+2t, y(t)=1+3t. Tämän suoran yksikäsitteinen kaltevuuden leikkauspisteen muoto on: y(x)=1,5x+2,5 (ratkaise ensimmäinen yhtälö t:n suhteen ja korvaa tämä tulos toiseen yhtälöön).
- Viivan vektoriparametrinen muoto ulottuu luonnollisesti myös 3-ulotteisten ja sitä suurempien tilojen viivoihin. Muut muodot eivät sovellu.
Esimerkki: X=(-1,1,2)+t(2,3,-1), t∈R on viiva 3-ulotteisessa avaruudessa. Suora kulkee pisteiden (-1,1,2) ja (1,4,1) kautta.
