Siirry sisältöön
Etusivu

Injektio (injektiivinen funktio) – määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Injektio (injektiivinen funktio): selkeä määritelmä, ominaisuudet ja havainnollistavat esimerkit — ymmärrä 1‑1-funktiot nopeasti ja käytännönläheisesti.

Tekijä: Luotu: Päivitetty:

Matematiikassa injektiivinen funktio on funktio f : A → B, jolla on seuraava ominaisuus: jokaiselle elementille b koodialueella B on enintään yksi elementti a alueessa A, joka on sellainen, että f(a) = b. Toisin sanoen eri lähtöjoukon alkioilla on eri kuva: jos f(a1) = f(a2), niin a1 = a2.

Määritelmä ja ominaisuudet

Voidaan antaa myös muodollinen määritelmä hyödyntäen predikaatteja:

f on injektiivinen, jos ja vain jos ∀a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2.

  • Vasen inversio: f on injektiivinen täsmälleen, kun sillä on vasen käänteisfunktio g (eli funktio g: B→A siten, että g∘f = id_A).
  • Kompositiot: Jos f: A→B ja g: B→C ovat injektiivisia, niin myös g∘f on injektiivinen.
  • Kuvaelementtien lukumäärä: Jokaista b ∈ B kohden esikuvia on korkeintaan yksi. Tästä seuraa, että jos A ja B ovat äärelliset, niin injektiivinen funktio A→B tarkoittaa |A| ≤ |B|.
  • Ei aina käännettävissä: Injektiivinen funktio ei välttämättä ole kääntyvä ellei se ole myös surjektio (ts. bijektio).
  • Graafinen testi (reaalifunktiot): funktio R→R on injektiivinen, jos ja vain jos mikä tahansa vaakasuora suora leikkaa sen kuvaajan korkeintaan kerran (ns. horizontal line test).

Esimerkkejä

  • Lineaarinen funktio: f(x) = 2x määriteltynä R→R on injektiivinen, koska 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2.
  • Toisen asteen funktio: f(x) = x² ei ole injektiivinen R→R (esim. f(1) = f(−1)), mutta se on injektiivinen rajoitettuna esimerkiksi [0, ∞)→[0, ∞).
  • Injektiivinen mutta ei surjektio: f: Z→Z, f(n) = 2n on injektiivinen mutta ei surjektio, koska esimerkiksi pariton luku ei ole kuvan arvo.
  • Ei-injektiivinen kartoitus: projektiot kuten π1: A×B → A, π1(a,b)=a eivät ole injektiivisiä, koska eri pareilla voi olla sama ensimmäinen komponentti.
  • Esimerkkikuvaus äärellisillä joukoilla: f: {1,2,3} → {a,b,c,d} määritelty f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c on injektiivinen (|A|≤|B|).

Tarkistusmenetelmät

  • Tarkista, että f(a1)=f(a2) johtaa aina a1=a2.
  • Etsi kaksi eri lähtöalkiota, jotka antavat saman kuvan; jos löydät, funktio ei ole injektiivinen.
  • Katso, onko olemassa vasen inversio g siten, että g(f(a))=a kaikille a∈A; jos on, f on injektiivinen.

Suhde surjektioon ja bijektioon

Nicholas Bourbaki otti käyttöön termin injektio ja siihen liittyvät termit surjektio ja bijektio. Hän ja joukko muita matemaatikkoja julkaisivat 1930-luvulla sarjan kirjoja modernista kehittyneestä matematiikasta.

Injektiivistä funktiota kutsutaan usein 1–1-funktioksi. On kuitenkin tärkeää huomata ero termien välillä: ilmaus "yksi-yhteenvastaavuus" (engl. "one-to-one correspondence" tai "1–1 correspondence") tarkoittaa yleensä bijektiota — funktiota, joka on sekä injektiivinen että surjektivinen. Tästä seuraa, että jotkut lähteet lyhentävät "one-to-one" tarkoittamaan injektiivisyyttä, kun taas "one-to-one correspondence" tarkoittaa bijektiota. Ole siis varovainen terminologian kanssa ja tarkista konteksti.

Lisähuomautuksia

  • Joukon A ja B välillä oleva injektio merkitsee, että A voidaan "upottaa" B:hen ilman päällekkäisyyttä kuvien tasolla.
  • Injektiivisuus on keskeinen käsite eri matematiikan aloilla, kuten algebra, topologia ja kombinatoriikka; esimerkiksi injektiiviset lineaarikuvaukset säilyttävät lineaarisen riippumattomuuden.
  • Kun työskennellään abstraktien joukkojen kanssa, usein tarkastellaan olemassaolon ja ominaisuuksien kannalta vasemmista inversioista ja laajennuksista, jotka liittyvät injektiivisuuteen.

Perusominaisuudet

Virallisesti:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} on injektiivinen funktio, jos ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}{\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} tai vastaavasti

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}{\displaystyle f:A\rightarrow B} on injektiivinen funktio, jos ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\ in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}} {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

Elementtiä a {\displaystyle a}a kutsutaan elementin b {\displaystyle b}{\displaystyle b} esikuvaksi, jos f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}{\displaystyle f(a)=b} . Injektioilla on yksi tai ei yhtään esikuvaa jokaiselle B:n elementille b.

Cardinality

Kardinaalisuus on joukon alkioiden lukumäärä. Joukon A={X,Y,Z,W} kardinaalisuus on 4. Kirjoitetaan #A=4.

  • Jos koodialueen kardinaalisuus on pienempi kuin toimialueen kardinaalisuus, funktio ei voi olla injektio. (Esimerkiksi 6 elementtiä ei voida muodostaa 5 elementtiin ilman kaksoiskappaletta.)

Esimerkkejä

Alkeisfunktiot

Olkoon f(x):ℝ→ℝ reaaliarvoinen funktio y=f(x), jolla on reaaliarvoinen argumentti x. (Tämä tarkoittaa, että sekä tulo että lähtö ovat reaalilukuja.)

  • Graafinen merkitys: Funktio f on injektio, jos jokainen vaakasuora viiva leikkaa f:n kuvaajan korkeintaan yhdessä pisteessä.
  • Algebrallinen merkitys: Funktio f on injektio, jos f(xo )=f(x1 ) tarkoittaa xo =x .1

Esimerkki: Vinon viivan lineaarinen funktio on 1-1. Eli y=ax+b, jossa a≠0 on injektio. (Se on myös surjektio ja siten bijektio.)

Todiste: Olkoot xo ja x1 reaalilukuja. Oletetaan, että suora kuvaa nämä kaksi x-arvoa samaan y-arvoon. Tämä tarkoittaa, että a-xo +b=a-x1 +b. Vähennetään b molemmista sivuista. Saadaan a-xo =a-x1 . Jaetaan nyt molemmat puolet a:lla (muista a≠0). Saadaan xo =x1 . Olemme siis todistaneet muodollisen määritelmän ja funktion y=ax+b, jossa a≠0 on injektio.

Esimerkki: Kolmannen asteen polynomifunktio: f(x)=x3 on injektio. Kolmannen asteen polynomifunktio: f(x)=x3 -3x ei kuitenkaan ole injektio.

Keskustelu 1: Mikä tahansa vaakasuora viiva leikkaa kuvaajan

f(x)=x3 täsmälleen kerran. (Lisäksi se on surjektio.)

Keskustelu 2. Kaikki vaakasuorat viivat y=-2 ja y=2 välillä leikkaavat kuvaajan kolmessa pisteessä, joten tämä funktio ei ole injektio. (Se on kuitenkin surjektio.)

Esimerkki: Kvadraattinen funktio f(x) = x2 ei ole injektio.

Keskustelu: Mikä tahansa vaakasuora viiva y=c, jossa c>0, leikkaa kuvaajan kahdessa pisteessä. Tämä funktio ei siis ole injektio. (Se ei myöskään ole surjektio.)

Huomautus: Ei-injektiivisestä funktiosta voidaan tehdä injektiivinen funktio poistamalla osa alueesta. Kutsumme tätä toimialueen rajoittamiseksi. Rajoitetaan esimerkiksi f(x)=x²:n alue ei-negatiivisiin lukuihin (positiiviset luvut ja nolla). Määritellään

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }{\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } missä f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Tämä toiminto on nyt injektio. (Katso myös funktion rajoittaminen.)

Esimerkki: Eksponenttifunktio f(x) = 10x on injektio. (Se ei kuitenkaan ole surjektio.)

Keskustelu: Mikä tahansa vaakasuora viiva leikkaa kuvaajan korkeintaan yhdessä pisteessä. Vaakasuorat suorat y=c, joissa c>0 leikkaavat sen täsmälleen yhdessä pisteessä. Vaakasuorat suorat y=c, joissa c≤0, eivät leikkaa kuvaajaa yhdessäkään pisteessä.

Huomautus: Laskelmissa voidaan käyttää hyväksi sitä, että eksponenttifunktio on injektiivinen.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Esimerkki: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5}} {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5} 

Injektio: mikään vaakasuora viiva ei leikkaa useampaa kuin yhtä kuvaajan pistettä.

Injektio. f(x):ℝ→ℝ (ja surjektio).

Injektio. f(x):ℝ→ℝ (ja surjektio).

Ei injektio. f(x):ℝ→ℝ (on surjektio).

Ei ole injektio. f(x):ℝ→ℝ (ei surjektio).

Injektio. f(x):ℝ→ℝ (ei surjektio).

Injektio. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja surjektio).

Muita esimerkkejä

Esimerkki: f(x)=log(x) tai y=log10 (x) on injektio (ja surjektio). (Tämä on käänteisfunktio 10x .)

Esimerkki: Funktio f:ℕ→ℕ, joka kuvaa jokaisen luonnollisen luvun n arvoksi 2n, on injektio. Jokaisella parillisella luvulla on täsmälleen yksi esikuva. Jokaisella parittomalla luvulla ei ole esikuvaa.

Aiheeseen liittyvät sivut

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on injektiivinen funktio matematiikassa?

V: Injektiivinen funktio on funktio f: A → B, jolla on ominaisuus, että eri alkiot toimialueella vastaavat eri alkiota koodialueella.

K: Mikä on injektiivisen funktion toimialueen ja koodialueen alkioiden välinen suhde?

V: Jokaiselle komodomainin B elementille b on olemassa enintään yksi elementti a komodomainissa A siten, että f(a)=b.

K: Kuka otti käyttöön termit injektio, surjektio ja bijektio?

V: Nicholas Bourbaki ja joukko muita matemaatikkoja esitteli termit injektio, surjektio ja bijektio.

K: Mitä injektiivinen funktio tarkoittaa?

V: Injektiivinen funktio tarkoittaa, että jokainen alueen A alkio vastaa yhtä ja ainoaa alkiota koodialueella B.

K: Miten injektiivinen funktio eroaa 1-1-korrespondenssista?

V: Injektiivistä funktiota kutsutaan usein 1-1-funktioksi, mutta se eroaa 1-1-korrespondenssista, joka on bijektiivinen funktio (sekä injektiivinen että surjektiivinen).

K: Mikä on injektiivisen funktion ominaisuus?

V: Injektiivisen funktion ominaisuutena on se, että eri aluetunnuksen eri elementit vastaavat eri aluetunnuksen eri elementtejä.

K: Mikä on injektiivisten funktioiden merkitys matematiikassa?

V: Injektiivisillä funktioilla on tärkeä rooli monilla matemaattisilla aloilla, kuten topologiassa, analyysissä ja algebrassa, koska niiden ominaisuutena on, että toimialueen erilliset elementit vastaavat koodialueen erillisiä elementtejä.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Tekijä

AlegsaOnline.com Injektio (injektiivinen funktio) – määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

URL: https://fi.alegsaonline.com/art/47369

Jaa

Lähteet