Alkuluku | tietynlainen luonnollinen luku

Primaluku on tietynlainen luonnollinen luku. Mikä tahansa luonnollinen luku on yhtä suuri kuin 1 kertaa itsensä. Jos luku on yhtä suuri kuin jokin muu luonnollinen luku kerrottuna, lukua kutsutaan yhdistelmäluvuksi. Pienin yhdistetty luku on 4, koska 2 x 2 = 4. 1 ei ole yhdistetty luku. Kaikki muut luvut ovat alkulukuja. Primaluvut ovat muita lukuja kuin 1, jotka eivät ole yhtä suuria kuin m × n {\displaystyle m\times n} $m\times n$ (paitsi 1 kertaa itsensä). Pienin alkuluku on 2. Seuraavat alkuluvut ovat 3, 5, 7, 11 ja 13. Suurinta alkulukua ei ole. Primalukujen joukko kirjoitetaan joskus muodossa P {\displaystyle \mathbb {P} } $\mathbb {P}$ .

Aritmetiikan perusteoriassa todetaan, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona yksikäsitteisellä tavalla, vaikka alkulukujen esiintymistapa onkin matemaatikoille vaikea ongelma. Kun luku on suurempi, on vaikeampi tietää, onko se alkuluku. Yksi vastaus on alkulukuteoria. Yksi ratkaisemattomista ongelmista on Goldbachin arvelu.

Yksi klassisen aikakauden kuuluisimmista matemaatikoista, Eukleideus, kirjasi todisteen siitä, että suurinta alkulukua ei ole olemassa. Monet tiedemiehet ja matemaatikot etsivät sitä kuitenkin edelleen osana Suurta Internetin Mersennen alkulukuhakua.

Tässä on toinen tapa ajatella alkulukuja. Luku 12 ei ole alkuluku, koska siitä voidaan muodostaa suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 4 ja 3. Tämän suorakulmion pinta-ala on 12, koska kaikki 12 palikkaa on käytetty. Tätä ei voida tehdä 11:llä. Miten tahansa suorakulmio järjestetäänkin, jäljelle jää aina palikoita, lukuun ottamatta suorakulmiota, jonka sivujen pituudet ovat 11 ja 1. 11:n on siis oltava alkuluku.

Miten löytää pieniä alkulukuja

Primalukujen luettelon löytämiseen on yksinkertainen menetelmä. Eratosthenes loi sen. Sen nimi on Eratostenesin seula. Se ottaa kiinni luvut, jotka eivät ole alkulukuja (kuten seula), ja päästää alkuluvut läpi.

Menetelmä toimii numeroluettelon ja erityisen b-nimisen luvun kanssa, joka muuttuu menetelmän aikana. Menetelmää läpikäydessä ympyröidään joitakin numeroita luettelossa ja yliviivataan toisia. Jokainen ympyröity luku on alkuluku ja jokainen yliviivattu luku on yhdistetty. Alussa kaikki luvut ovat tavallisia: niitä ei ole ympyröity eikä yliviivattu.

Menetelmä on aina sama:

Kirjoita paperille kaikki kokonaisluvut 2:sta testattavaan lukuun asti. Älä kirjoita numeroa 1. Siirry seuraavaan vaiheeseen.
Aloita, kun b on 2. Siirry seuraavaan vaiheeseen.
Ympyröi b luettelossa. Siirry seuraavaan vaiheeseen.
Aloita b:stä, laske luettelossa vielä b ylöspäin ja pyyhi tämä luku yli. Toistakaa vielä b numeron laskemista ylöspäin ja numeroiden yliviivaamista, kunnes lista on lopussa. Siirry seuraavaan vaiheeseen.

(Esimerkiksi: Kun b on 2, ympyröi 2 ja yliviivaa 4, 6, 8 ja niin edelleen. Kun b on 3, ympyröit 3 ja yliviivaat 6, 9, 12 jne. 6 ja 12 on jo yliviivattu. Rastita ne uudelleen.)

Suurenna b:tä 1:llä. Siirry seuraavaan vaiheeseen.
Jos b on yliviivattu, palaa edelliseen vaiheeseen. Jos b on luettelon numero, jota ei ole yliviivattu, siirry kolmanteen vaiheeseen. Jos b ei ole luettelossa, siirry viimeiseen vaiheeseen.
(Tämä on viimeinen vaihe.) Olet valmis. Kaikki alkuluvut on ympyröity ja kaikki yhdistetyt luvut on yliviivattu.

Menetelmää voidaan soveltaa esimerkiksi luetteloon, joka sisältää numerot 2-10. Lopulta numerot 2, 3, 5 ja 7 päätyvät ympyröityinä. Nämä ovat alkulukuja. Numerot 4, 6, 8, 9 ja 10 yliviivataan. Nämä ovat yhdistettyjä lukuja.

Tämä menetelmä tai algoritmi kestää liian kauan löytää hyvin suuria alkulukuja. Se on kuitenkin yksinkertaisempi kuin hyvin suurten alkulukujen määrittämiseen käytetyt menetelmät, kuten Fermat'n alkulukutesti (testi, jolla selvitetään, onko luku alkuluku vai ei) ja Miller-Rabinin alkulukutesti.

Mihin alkulukuja käytetään

Primaluvut ovat erittäin tärkeitä matematiikassa ja tietotekniikassa. Hyvin pitkiä lukuja on vaikea ratkaista. Niiden alkutekijöitä on vaikea löytää, joten useimmiten salakirjoitukseen ja salaisiin koodeihin käytetään lukuja, jotka todennäköisesti ovat alkulukuja. Esim:

Useimmilla ihmisillä on pankkikortti, jolla he voivat nostaa rahaa tililtään pankkiautomaatilla. Kortti on suojattu salaisella salasanalla. Koska koodi on pidettävä salassa, sitä ei voi tallentaa kortille selväkielisenä. Koodin tallentamiseen salassa käytetään salausta. Tässä salauksessa käytetään kertolaskuja, jakolaskuja ja suurten alkulukujen jäännöslukujen löytämistä. Käytännössä käytetään usein algoritmia nimeltä RSA. Se käyttää kiinalaista jäännösteoriaa.

Jos jollakulla on digitaalinen allekirjoitus sähköpostissaan, käytetään salausta. Näin varmistetaan, ettei kukaan voi väärentää sähköpostia. Ennen allekirjoittamista viestistä luodaan hash-arvo. Tämä yhdistetään sitten digitaaliseen allekirjoitukseen, jolloin saadaan allekirjoitettu viesti. Käytetyt menetelmät ovat suurin piirtein samat kuin ensimmäisessä edellä mainitussa tapauksessa.

Suurimman tunnetun alkuluvun löytämisestä on vuosien varrella tullut eräänlainen urheilulaji. Jos luku on suuri, voi olla vaikeaa testata, onko se alkuluku. Suurimmat tällä hetkellä tunnetut alkuluvut ovat yleensä Mersennen alkulukuja, koska nopein tunnettu alkulukutesti on Lucas-Lehmerin testi, joka perustuu Mersennen lukujen erityismuotoon.

Aiheeseen liittyvät sivut

Coprime
Luettelo alkuluvuista
Palindrominen prime
Primaaritekijöiden kertolasku
Wilson prime

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on alkuluku?

A: Primaluku on luonnollinen luku, jota ei voi jakaa millään muulla luonnollisella luvulla kuin 1:llä ja itsellään.

K: Mikä on pienin yhdistetty luku?

A: Pienin yhdistetty luku on 4, koska 2 x 2 = 4.

K: Mitkä ovat seuraavat alkuluvut 2:n jälkeen?

V: Seuraavat alkuluvut 2:n jälkeen ovat 3, 5, 7, 11 ja 13.

K: Onko olemassa suurin alkuluku?

V: Ei, suurinta alkulukua ei ole olemassa. Primalukujen joukko on ääretön.

K: Mitä sanotaan aritmetiikan perusteoriassa?

V: Aritmetiikan perusteoremin mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona yksikäsitteisellä tavalla.

K: Mikä on Goldbachin arvelu?

V: Goldbachin arvelu on matematiikan ratkaisematon ongelma, jonka mukaan jokainen parillinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin kaksi, voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana.

K: Kuka kirjasi todisteen siitä, että suurinta alkulukua ei ole olemassa?

V: Eukleides kirjasi todisteen siitä, että suurinta alkulukua ei ole olemassa.