Geometrinen keskiarvo on luku, jota käytetään kuvaamaan lukujoukkoa erityisesti silloin, kun kiinnostus kohdistuu tuotteisiin tai suhteellisiin muutoksiin. Se lasketaan ottamalla lukujen tulo ja siitä n:nnen juuren tulo. Toisin sanoen, jos meillä on N lukua {\displaystyle X_{1},X_{2},X,3\dots X_{N}}, geometrinen keskiarvo on

X 1 ⋅ X 2 ⋅ X 3 ⋅ ... X N N {\displaystyle {\sqrt[{N}]{X_{1}\cdot X_{2}\cdot X_{3}\cdot \dots X_{N}}}}

{\displaystyle {\sqrt[{N}]{X_{1}\cdot X_{2}\cdot X_{3}\cdot \dots X_{N}}}}

Useimmat ihmiset viittaavat keskiarvosta puhuessaan aritmeettiseen keskiarvoon. Geometrinen keskiarvo on lähes aina pienempi kuin aritmeettinen keskiarvo; joissakin tapauksissa ne ovat yhtä suuret (kun kaikki luvut ovat samat). Geometrista keskiarvoa käytetään usein rahoituksessa ja tilastoissa, erityisesti kun tarkastellaan suhteellisia muutoksia, kasvukertoimia tai indeksejä.

Kuinka geometrinen keskiarvo lasketaan

  • Perusmuoto: jos luvut ovat x1, x2, ..., xN, niin geometrinen keskiarvo on (x1 · x2 · ... · xN)^(1/N).
  • Logaritmitekniikka (käytännöllinen laskennassa): GM = exp( (1/N) · sum(ln xi) ). Tämä on numeerisesti vakaampi, kun luvut ovat hyvin suuria tai hyvin pieniä.
  • Painotettu geometrinen keskiarvo: jos kullakin arvolla xi on paino wi (ja sum wi = 1), niin GM = prod_i xi^{wi} = exp( sum_i wi · ln xi ).

Käytännön esimerkkejä

Esimerkki 1 — yksinkertainen
Luvut 2 ja 8. Geometrinen keskiarvo on sqrt(2·8) = sqrt(16) = 4.

Esimerkki 2 — tuottojen yhdistäminen
Osakkeen kuukausituotot: +5 % (kertoimena 1,05) ja −5 % (kertoimena 0,95). Geometrinen keskiarvo kertoimena on sqrt(1,05·0,95) = sqrt(0,9975) ≈ 0,99875, eli keskimääräinen kuukausituotto on noin −0,125 % kuukaudessa (0,99875 − 1 ≈ −0,00125). Tämä kertoo tarkemmin keskikasvun kuin aritmeettinen keskiarvo, koska se huomioi tuotetun vaikutuksen.

Esimerkki 3 — vuosikasvu (CAGR)
Jos sijoitus kasvaa kertoimella 1,10, 1,20 ja 1,05 kolmena peräkkäisenä vuotena, vuosikasvu (geometrinen keskiarvo) on (1,10·1,20·1,05)^(1/3) ≈ 1,1167, eli keskimääräinen vuotuinen kasvu ≈ 11,67 %.

Kun yksi luvuista on nolla tai negatiivinen

  • Jos jokin arvoista on nolla, koko tulon arvo on nolla ja geometrinen keskiarvo on nolla. Käytännössä tämä usein tekee geometrisestä keskiarvosta merkityksettömän, erityisesti jos luvut ovat kasvukertoimia (nolla tarkoittaisi täydellistä tappiota/tuhoa).
  • Jos joku luvuista on negatiivinen luku, geometrinen keskiarvoa ei yleensä lasketa reaaliarvoisena, koska negatiivisten lukujen tulo voi olla negatiivinen ja n:nnen juuren ottaminen voi olla määrittelemätöntä (riippuen n:stä) tai johtaa kompleksilukuihin.
  • Geometrista keskiarvoa ei käytetä kompleksiluvuille, koska juuren laskemisella on useampi kuin yksi tulos.

Suhde aritmeettiseen keskiarvoon ja ominaisuuksia

  • AM–GM-epäyhtälö: aritmeettinen keskiarvo ≥ geometrinen keskiarvo. Tasapaino saavutetaan vain, kun kaikki luvut ovat yhtä suuria.
  • Geometrinen keskiarvo on positiivisten lukujen keskiarvo, joka on sopiva mitta suhteellisille muutoksille ja tuotteiden yhdistämiselle.
  • Geometrinen keskiarvo on homogeeninen: jos kaikki arvot kerrotaan samalla kertoimella c>0, geometrinen keskiarvo myös skaalautuu kertoimella c.

Laskeminen laskimella tai taulukkolaskennassa

  • Käytä logaritmeja: laske ln(xi) kaikille i, ota keskiarvo (sum ln xi / N) ja ota siitä e^: GM = exp(sum ln xi / N).
  • Taulukkolaskimessa usein funktio GEOMEAN löytyy suoraan (esim. Excelissä GEOMEAN). Jos ei löydy, käytä exp(AVERAGE(ln(range))).

Käyttökohteita

  • Rahoitus: vuosien keskimääräinen tuotto (CAGR), useiden tuottojaksojen yhdistäminen.
  • Tieteissä ja ympäristötilastoissa: keskimääräisten suhteellisten muutosten ja indeksiarvojen laskenta.
  • Tekniikassa: kun käsitellään skaalaus- tai mittasuhteita, joissa kerroinvaikutus on relevantti.

Yhteenvetona: geometrinen keskiarvo on hyödyllinen työkalu silloin, kun tiedot liittyvät tuotteisiin, kasvukertoimiin tai suhteellisiin muutoksiin. Se antaa usein realistisemman kuvan "keskimääräisestä" muutosnopeudesta kuin aritmeettinen keskiarvo, mutta vaatii positiivisia arvoja tai huolellista käsittelyä, jos nollia tai negatiivisia arvoja esiintyy.