David Hilbert – saksalainen matemaatikko ja matemaattisen logiikan uranuurtaja
David Hilbert — saksalainen matemaatikko ja matemaattisen logiikan uranuurtaja; loi aksioomat, Hilbertin avaruuden ja vaikutti modernin matematiikan ja kvanttimekaniikan kehitykseen.
David Hilbert (Königsberg, Preussi, 23. tammikuuta 1862 - Göttingen, Saksa, 14. helmikuuta 1943) oli saksalainen matemaatikko, loogikko ja matematiikan filosofi. Häntä pidetään yleisesti yhtenä 1800- ja 1900-luvun vaikutusvaltaisimmista ja suurimmista matemaatikoista.
Hilbert löysi ja kehitti useita perustavanlaatuisia ideoita monilla aloilla. Hän työskenteli invarianssiteorian, geometrian aksiomisen ja Hilbertin avaruuden käsitteen parissa. Tämä on yksi funktionaalianalyysin perusteista. Hilbert ja hänen oppilaansa toimittivat suuren osan kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian tarvitsemasta matematiikasta. Hän oli yksi todistusteorian ja matemaattisen logiikan perustajista. Hän oli myös ensimmäisiä, jotka tekivät eron matematiikan ja metamatematiikan välille, ja hän puolusti lämpimästi Georg Cantorin joukko-oppia ja transfiniittisiä lukuja.
Elämä ja ura
Hilbert syntyi Königsbergissä ja opiskeli siellä sekä myöhemmin Berliinissä. Hän teki tohtorin tutkinnon Königsbergin yliopistossa vuonna 1885 ja eteni nopeasti akateemisella urallaan. Vuonna 1895 hänet kutsuttiin Göttingenin yliopistoon, missä hänestä tuli pian matematiikan keskeinen vaikuttaja ja Göttingen maailmanmaineen kipinä. Göttingenissä Hilbert johti vilkasta tutkimus- ja opetusympäristöä ja koulutti useita jälkimaailman merkittäviä matemaatikkoja, kuten esimerkiksi Emmy Noetherin, Hermann Weylin ja John von Neumannin kaltaisia oppilaita. Hilbert jäi virallisesti eläkkeelle 1930-luvulla, mutta vaikutuksensa matematiikkaan jatkui pitkään.
Tärkeimmät saavutukset ja käsitteet
Hilbertin työ kattaa laajan alan. Seuraavat kohdat tiivistävät hänen keskeisiä panoksiaan:
- Aksiomatisaatio – Hilbert korosti, että matemaattiset teoriat on syytä perustaa selkeille, loogisille aksiomaattisille järjestelmille; tämä näkyy erityisesti teoksessa Grundlagen der Geometrie, jossa hän antoi geometrialle modernin aksioomaattisen muodon.
- Hilbertin avaruus – yleinen käsite täydellisestä sisätulon määrittelemästä vektoriavaruudesta, joka on funktionaalianalyysin peruskivi ja jota tarvitaan mm. kvanttimekaniikassa.
- Algebra ja invarianttiteoria – mm. Hilbertin perustelulause (Hilbertin basislause), joka ratkaisi ongelmia invarianttien muodostajien finiittisyydestä ja loi pohjan modernille kommutatiiviselle algebralle.
- Todistusteoria ja metamatematiikka – Hilbert oli formalistisen suuntauksen johtohahmoja; hän erotteli matematiikan ja sen metatason tutkimuksen ja pyrki varmistamaan matematiikan johdonmukaisuuden.
- Hilbertin kysymykset – vuoden 1900 Pariisin kansainvälisessä konferenssissa hän esitti kuuluisat 23 tutkimusongelmaa, jotka ohjasivat suuren osan 1900-luvun matematiikan tutkimuksesta.
- Muita nimettyjä käsitteitä – esimerkiksi Hilbertin avaruuden lisäksi hänen mukaansa on nimetty Hilbertin transformaatio, Hilbertin matriisi, Hilbertin kurvi (tila-täyttökäyrä), Hilbert–Noether-tyyppiset tulokset ja useita tuloksia algebraalisesta geometriasta kuten Nullstellensatzin yhteydet hänen töihinsä.
Hilbertin ohjelma ja sen vaikutus
Hilbert muotoili 1920-luvulla niin kutsutun Hilbertin ohjelman, jonka tavoitteena oli formalisoida kaikki matematiikka ja rakentaa sille varma, looginen perusta sekä antaa konsistenssille (loogiselle ristiriidattomuudelle) matemaattinen todistus käyttäen yksinkertaisia, finitistisiä menetelmiä. Ohjelma asetti myös määräyksen ratkaista päätettävyyden ongelma (Entscheidungsproblem).
Kuitenkin Kurt Gödelin vuonna 1931 julkaisema epätäydellisyyslauseikko osoitti, että Hilbertin alkuperäinen tavoite ei ole täysin saavutettavissa: riittävän voimakkaissa aksiomaattisissa järjestelmissä on lauseita, joita ei voi joko todistaa tai kieltää järjestelmässä itsessään, ja järjestelmän konsistenssin todistaminen järjestelmän omilla menetelmillä on ongelmallista. Tämä ei kuitenkaan mitätöinyt Hilbertin työtä; sen sijaan se selkeytti matemaattisen logiikan ja metamatematiikan rajoja ja loi pohjan myöhemmälle tutkimukselle.
Vaikutus ja perintö
Hilbertin vaikutus oli paitsi teoreettinen myös institutionaalinen: hänen johtamansa Göttingenin ala vaikutti voimakkaasti 1900-luvun matematiikan kehitykseen. Hänen aksioomaattinen lähestymistapansa ja korostuksensa selkeydestä ja tarkkuudesta ovat edelleen osa matematiikan perintöä. Hänen esittelemänsä 23 ongelmaa innoittivat lukemattomia tutkijoita ja määrittelivät tutkimuslinjoja monilla aloilla.
Hilbertin ajatuksia ja laajoja panoksia kuvaa myös se, että monet matemaattiset käsitteet kantavat hänen nimeään. Häntä on usein siteerattu lausahduksella "Meidän täytyy tietää — me tulemme tietämään" (saksan kielellä: "Wir müssen wissen — wir werden wissen"), joka on liitetty hänen ajattelunsa luottamukseen tiedon ja järjen voimasta.
David Hilbert. Kuva otettu vuonna 1912.
Göttingenin koulu
Vuonna 1895 Hilbertistä tuli Göttingenin yliopiston matematiikan professori, joka oli tuolloin maailman paras matematiikan tutkimuskeskus. Siellä hän pysyi loppuelämänsä ajan. Hänen oppilaitaan olivat mm: Hermann Weyl, shakkimestari Emanuel Lasker, Ernst Zermelo ja Carl Gustav Hempel. John von Neumann oli hänen avustajansa. Göttingenin yliopistossa Hilbertiä ympäröi sosiaalinen piiri, johon kuului joitakin 1900-luvun merkittävimpiä matemaatikkoja, kuten Emmy Noether ja Alonzo Church.
Aksioomat ja ongelmat
Hilbertin aksioomat
Hilbert julkaisi vuonna 1899 teoksen Grundlagen der Geometrie (Geometrian perusteet). Siinä ehdotettiin muodollista joukkoa, Hilbertin aksioomeja, perinteisten Eukleideen aksioomien sijasta. Niillä vältetään Eukleideen teosten heikkoudet, joiden teoksia tuolloin vielä käytettiin textbmathematics on hänen vuonna 1900 esittämänsä joukko ongelmia, jotka määrittivät suunnan suurelle osalle 1900-luvun matemaattista tutkimusta.
Hän esitti useita ratkaisemattomia ongelmia Pariisissa vuonna 1900 pidetyssä kansainvälisessä matemaatikkojen kongressissa. Tätä pidetään menestyksekkäimpänä ja syvällisimmin harkittuna kokoelmana avoimista ongelmista, jonka yksittäinen matemaatikko on koskaan laatinut. Myöhemmin hän laajensi luettelonsa 23 ongelmaan.
Hilbertin ohjelma
Vuonna 1920 hän ehdotti nimenomaisesti metamatematiikan tutkimushanketta, joka tuli tunnetuksi Hilbertin ohjelmana. Hän halusi, että matematiikka muotoiltaisiin vankalle ja täydelliselle loogiselle perustalle. Hän uskoi, että periaatteessa tämä voitaisiin tehdä osoittamalla, että:
- Koko matematiikka seuraa oikein valitusta äärellisestä aksioomajärjestelmästä; ja
- että jokin tällainen aksiooma-järjestelmä on todistettavasti johdonmukainen.
Hänellä näyttää olleen sekä teknisiä että filosofisia syitä tämän ehdotuksen laatimiseen.
Fysiikka
Vuoden 1912 jälkeen Hilbert keskittyi fysiikkaan. Tuolloin hän työskenteli yleisen suhteellisuusteorian ja matemaattisen fysiikan parissa. Hänen työnsä näillä aloilla on myös tärkeää.
Aiheeseen liittyvät sivut
- Hilbertin Grand Hotel -paradoksi, joka on pohdiskelu äärettömän oudoista ominaisuuksista, on usein käytetty äärettömiä kardinaalilukuja koskevissa populaareissa kuvauksissa.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Kuka on David Hilbert?
V: David Hilbert oli saksalainen matemaatikko, logiikko ja matematiikan filosofi.
K: Mistä David Hilbert on kuuluisa?
A: David Hilbertiä pidetään yleisesti yhtenä 1800- ja 1900-luvun vaikutusvaltaisimmista ja suurimmista matemaatikoista. Hän löysi ja kehitti useita perustavanlaatuisia ideoita monilla aloilla, kuten invarianssiteorian, geometrian aksiomisen ja Hilbertin avaruuden käsitteen, joka on yksi funktionaalianalyysin perusteista. Hän vaikutti myös todistusteoriaan ja matemaattiseen logiikkaan ja oli yksi näiden alojen perustajista.
K: Mikä on Hilbertin avaruus?
V: Hilbertin avaruus on David Hilbertin kehittämä käsite, joka on yksi funktionaalianalyysin perusteista. Se on eräänlainen avaruus, jolla on tiettyjä ominaisuuksia, jotka liittyvät sen ulottuvuuksiin ja sisäiseen tuotteeseen.
K: Millaisen panoksen Hilbert antoi kvanttimekaniikkaan ja yleiseen suhteellisuusteoriaan?
V: David Hilbert ja hänen oppilaansa toimittivat suuren osan kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian tarvitsemasta matematiikasta. Hilbert osallistui erityisesti kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian matematiikan kehittämiseen.
K: Mitä on todistusteoria?
V: Todistusteoria on matemaattisen logiikan haara, joka tutkii matemaattisten todistusten luonnetta. David Hilbert oli yksi todistusteorian perustajista ja osallistui sen kehittämiseen.
K: Mitä eroa on matematiikan ja metamatematiikan välillä?
V: David Hilbert oli yksi ensimmäisistä ihmisistä, jotka tekivät eron matematiikan ja metamatematiikan välille. Matematiikassa tutkitaan matemaattisia järjestelmiä ja niiden ominaisuuksia, kun taas metamatematiikassa tutkitaan itse matemaattisten järjestelmien ominaisuuksia.
Kysymys: Miten Hilbert suhtautui Georg Cantorin joukko-oppiin ja transfiniittisiin lukuihin?
V: David Hilbert oli Georg Cantorin joukko-opin ja transfiniittisten lukujen kannattaja. Hän puolusti lämpimästi Cantorin ajatuksia näillä aloilla.
Etsiä