David Hilbert (Königsberg, Preussi, 23. tammikuuta 1862 - Göttingen, Saksa, 14. helmikuuta 1943) oli saksalainen matemaatikko, loogikko ja matematiikan filosofi. Häntä pidetään yleisesti yhtenä 1800- ja 1900-luvun vaikutusvaltaisimmista ja suurimmista matemaatikoista.

Hilbert löysi ja kehitti useita perustavanlaatuisia ideoita monilla aloilla. Hän työskenteli invarianssiteorian, geometrian aksiomisen ja Hilbertin avaruuden käsitteen parissa. Tämä on yksi funktionaalianalyysin perusteista. Hilbert ja hänen oppilaansa toimittivat suuren osan kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian tarvitsemasta matematiikasta. Hän oli yksi todistusteorian ja matemaattisen logiikan perustajista. Hän oli myös ensimmäisiä, jotka tekivät eron matematiikan ja metamatematiikan välille, ja hän puolusti lämpimästi Georg Cantorin joukko-oppia ja transfiniittisiä lukuja.

Elämä ja ura

Hilbert syntyi Königsbergissä ja opiskeli siellä sekä myöhemmin Berliinissä. Hän teki tohtorin tutkinnon Königsbergin yliopistossa vuonna 1885 ja eteni nopeasti akateemisella urallaan. Vuonna 1895 hänet kutsuttiin Göttingenin yliopistoon, missä hänestä tuli pian matematiikan keskeinen vaikuttaja ja Göttingen maailmanmaineen kipinä. Göttingenissä Hilbert johti vilkasta tutkimus- ja opetusympäristöä ja koulutti useita jälkimaailman merkittäviä matemaatikkoja, kuten esimerkiksi Emmy Noetherin, Hermann Weylin ja John von Neumannin kaltaisia oppilaita. Hilbert jäi virallisesti eläkkeelle 1930-luvulla, mutta vaikutuksensa matematiikkaan jatkui pitkään.

Tärkeimmät saavutukset ja käsitteet

Hilbertin työ kattaa laajan alan. Seuraavat kohdat tiivistävät hänen keskeisiä panoksiaan:

  • Aksiomatisaatio – Hilbert korosti, että matemaattiset teoriat on syytä perustaa selkeille, loogisille aksiomaattisille järjestelmille; tämä näkyy erityisesti teoksessa Grundlagen der Geometrie, jossa hän antoi geometrialle modernin aksioomaattisen muodon.
  • Hilbertin avaruus – yleinen käsite täydellisestä sisätulon määrittelemästä vektoriavaruudesta, joka on funktionaalianalyysin peruskivi ja jota tarvitaan mm. kvanttimekaniikassa.
  • Algebra ja invarianttiteoria – mm. Hilbertin perustelulause (Hilbertin basislause), joka ratkaisi ongelmia invarianttien muodostajien finiittisyydestä ja loi pohjan modernille kommutatiiviselle algebralle.
  • Todistusteoria ja metamatematiikka – Hilbert oli formalistisen suuntauksen johtohahmoja; hän erotteli matematiikan ja sen metatason tutkimuksen ja pyrki varmistamaan matematiikan johdonmukaisuuden.
  • Hilbertin kysymykset – vuoden 1900 Pariisin kansainvälisessä konferenssissa hän esitti kuuluisat 23 tutkimusongelmaa, jotka ohjasivat suuren osan 1900-luvun matematiikan tutkimuksesta.
  • Muita nimettyjä käsitteitä – esimerkiksi Hilbertin avaruuden lisäksi hänen mukaansa on nimetty Hilbertin transformaatio, Hilbertin matriisi, Hilbertin kurvi (tila-täyttökäyrä), Hilbert–Noether-tyyppiset tulokset ja useita tuloksia algebraalisesta geometriasta kuten Nullstellensatzin yhteydet hänen töihinsä.

Hilbertin ohjelma ja sen vaikutus

Hilbert muotoili 1920-luvulla niin kutsutun Hilbertin ohjelman, jonka tavoitteena oli formalisoida kaikki matematiikka ja rakentaa sille varma, looginen perusta sekä antaa konsistenssille (loogiselle ristiriidattomuudelle) matemaattinen todistus käyttäen yksinkertaisia, finitistisiä menetelmiä. Ohjelma asetti myös määräyksen ratkaista päätettävyyden ongelma (Entscheidungsproblem).

Kuitenkin Kurt Gödelin vuonna 1931 julkaisema epätäydellisyyslauseikko osoitti, että Hilbertin alkuperäinen tavoite ei ole täysin saavutettavissa: riittävän voimakkaissa aksiomaattisissa järjestelmissä on lauseita, joita ei voi joko todistaa tai kieltää järjestelmässä itsessään, ja järjestelmän konsistenssin todistaminen järjestelmän omilla menetelmillä on ongelmallista. Tämä ei kuitenkaan mitätöinyt Hilbertin työtä; sen sijaan se selkeytti matemaattisen logiikan ja metamatematiikan rajoja ja loi pohjan myöhemmälle tutkimukselle.

Vaikutus ja perintö

Hilbertin vaikutus oli paitsi teoreettinen myös institutionaalinen: hänen johtamansa Göttingenin ala vaikutti voimakkaasti 1900-luvun matematiikan kehitykseen. Hänen aksioomaattinen lähestymistapansa ja korostuksensa selkeydestä ja tarkkuudesta ovat edelleen osa matematiikan perintöä. Hänen esittelemänsä 23 ongelmaa innoittivat lukemattomia tutkijoita ja määrittelivät tutkimuslinjoja monilla aloilla.

Hilbertin ajatuksia ja laajoja panoksia kuvaa myös se, että monet matemaattiset käsitteet kantavat hänen nimeään. Häntä on usein siteerattu lausahduksella "Meidän täytyy tietää — me tulemme tietämään" (saksan kielellä: "Wir müssen wissen — wir werden wissen"), joka on liitetty hänen ajattelunsa luottamukseen tiedon ja järjen voimasta.