Äärettömän apinan teoreema sanoo, että apina, joka sattumanvaraisesti iskee näppäimiä kirjoituskoneella, kirjoittaa lopulta yhden William Shakespearen teoksista. Kun ihmiset puhuvat äärettömän apinan teoreemasta, "apina" ei aina ole oikea apina. Sen sijaan se on esimerkki laitteesta, joka tuottaa satunnaisia kirjaimia. Todennäköisyys sille, että apina todella kirjoittaa Shakespearen Hamletin kaltaisen tekstin, on kuitenkin hyvin pieni.

 

Mitä teoreema tarkalleen sanoo?

Äärettömän apinan teoreema on pohjimmiltaan lukuteoreettinen ja mittateoreettinen lausuma: jos sinulla on ääretön määrä aikaa ja satunnaisia näppäilyjä, niin lähes varmasti (matemaattisesti: todennäköisyydellä 1) jokainen ennalta määritelty kohtalaisen pitkä merkkijono (esimerkiksi jokin Shakespearen näytelmän pätkä) esiintyy jossain vaiheessa tuotetussa merkkijonossa. "Lähes varmasti" tarkoittaa, että tapahtuma voi teoriassa epäonnistua joissakin yksittäisissä äärettömissä satunnaisissa sekvensseissä, mutta näiden sekvenssien todennäköisyys on nolla.

Todennäköisyyslaskelma ja esimerkki

Jos käytettävissä on k erilaista merkkiä ja haluttu teksti on pituudeltaan n merkkiä, yhden tietyssä kohdassa esiintymisen todennäköisyys on (1/k)^n. Odotusarvo siitä, kuinka monta eri aloituskohtaa täytyy kokeilla kunnes teksti ilmestyy, on suunnilleen k^n. Jo melko lyhyillä n ja kohtuullisella k tämä luku kasvaa astronomiseksi.

  • Esimerkki: jos k = 50 (kirjaimia, välilyöntejä, välimerkkejä) ja kohde on n = 20 merkkiä, yhden tarkan 20 merkin sekvenssin saaminen vaatisi odotusarvoisesti 50^20 yritystä — luku, joka on hyvin, hyvin suuri.
  • Shakespearen näytelmän kaltainen pitkä teksti sisältää kymmeniä tuhansia merkkejä, joten vastaava odotusarvo k^n on käsitteellisesti niin valtava, että käytännössä mahdoton saavuttaa vaikka maailmankaikkeus olisi äärettömän vanha.

Käytännön merkitys ja usein esiintyvät väärinkäsitykset

Monet kuvaavat teoreemaa sanoilla "apina lopulta kirjoittaa Hamletin". Tämä voi johtaa harhaan: matemaattisesti tapahtuma on todennäköisyydellä 1, mutta käytännössä se on saavuttamattoman epätodennäköistä. Erotus on sama kuin ero sanojen "varma" ja "todennäköinen käytännössä": matemaattinen varmuus ei tarkoita käytännön varmuutta, kun tarvittava aika tai resurssit ovat äärettömän suuret.

Lisäksi on hyvä muistaa, että teoreema koskee kaikkien mahdollisten äärettömien sekvenssien todennäköisyysjakaumaa. On olemassa äärettömiä sekvenssejä, joissa tiettyä pätkää ei koskaan esiinny — mutta niiden osuus (todennäköisyys) on nolla.

Laajennuksia, yhteyksiä ja sovelluksia

Äärettömän apinan ajatusmalli liittyy satunnaisuuden, stokastiikan ja informaatioteorian peruskäsitteisiin. Sitä käytetään usein pedagogisesti havainnollistamaan käsitteitä kuten lähes varmasti, satunnaisuus ja odotusarvo. Teoreemalla on myös yhteyksiä todennäköisyyslaskennan tuloksiin, kuten Borel-Cantellin lauseisiin.

Lisäksi apinan kuvauksen voi yleistää: esimerkiksi ääretön määrä apinoita, jotka kirjoittavat äärettömästi, tuottaa samat päättelyt. Tietojenkäsittelytieteessä aihe liittyy myös satunnaisiin algoritmeihin ja käsityksiin satunnaisuuden suhteesta rakenteeseen (esimerkiksi algoritminen kompleksisuus ja Kolmogorovin kompleksisuus).

Lyhyt historiallinen ja kulttuurinen huomautus

Ajatus satunnaisesta kirjoittajasta on vanha ja populaarikulttuurissa laaja-alaisesti tunnettu metafora. Se on herättänyt filosofisia kysymyksiä, kuten mitä sattuman tuottama teksti merkitsee merkityksen ja tarkoituksen kannalta. Kulttuurissamme ilmaus "ääretön apina" toimii usein leikillisenä tavalliselle yleisölle suunnattuna muistutuksena siitä, että epäjärjestyksestä voi teoriassa syntyä järjestystä, mutta käytännössä sellainen järjestys on epätodennäköinen.

Yhteenveto

Äärettömän apinan teoreema kertoo, että äärettömän ajan ja satunnaisen kirjoituksen oloissa mikä tahansa määrätty, äärellinen teksti esiintyy jossain vaiheessa lähes varmasti. Käytännössä kuitenkin tarvittavat resurssit (aika, näppäilyjen määrä) tekevät esimerkiksi koko Hamletin tuottamisesta satunnaisella näppäilyllä käytännössä mahdotonta. Teoreema on kiinnostava yhdistelmä matematiikkaa, intuitiota ja kulttuurista metaforaa — ja hyvä muistutus siitä, että matemaattinen varmuus ei aina tarkoita arkista toteutettavuutta.