Äärettömän apinan lause – määritelmä, esimerkki ja todennäköisyys
Äärettömän apinan teoreema sanoo, että apina, joka sattumanvaraisesti iskee näppäimiä kirjoituskoneella, kirjoittaa lopulta yhden William Shakespearen teoksista. Kun ihmiset puhuvat äärettömän apinan teoreemasta, "apina" ei aina ole oikea apina. Sen sijaan se on esimerkki laitteesta, joka tuottaa satunnaisia kirjaimia. Todennäköisyys sille, että apina todella kirjoittaa Shakespearen Hamletin kaltaisen tekstin, on kuitenkin hyvin pieni.
Mitä teoreema tarkalleen sanoo?
Äärettömän apinan teoreema on pohjimmiltaan lukuteoreettinen ja mittateoreettinen lausuma: jos sinulla on ääretön määrä aikaa ja satunnaisia näppäilyjä, niin lähes varmasti (matemaattisesti: todennäköisyydellä 1) jokainen ennalta määritelty kohtalaisen pitkä merkkijono (esimerkiksi jokin Shakespearen näytelmän pätkä) esiintyy jossain vaiheessa tuotetussa merkkijonossa. "Lähes varmasti" tarkoittaa, että tapahtuma voi teoriassa epäonnistua joissakin yksittäisissä äärettömissä satunnaisissa sekvensseissä, mutta näiden sekvenssien todennäköisyys on nolla.
Todennäköisyyslaskelma ja esimerkki
Jos käytettävissä on k erilaista merkkiä ja haluttu teksti on pituudeltaan n merkkiä, yhden tietyssä kohdassa esiintymisen todennäköisyys on (1/k)^n. Odotusarvo siitä, kuinka monta eri aloituskohtaa täytyy kokeilla kunnes teksti ilmestyy, on suunnilleen k^n. Jo melko lyhyillä n ja kohtuullisella k tämä luku kasvaa astronomiseksi.
- Esimerkki: jos k = 50 (kirjaimia, välilyöntejä, välimerkkejä) ja kohde on n = 20 merkkiä, yhden tarkan 20 merkin sekvenssin saaminen vaatisi odotusarvoisesti 50^20 yritystä — luku, joka on hyvin, hyvin suuri.
- Shakespearen näytelmän kaltainen pitkä teksti sisältää kymmeniä tuhansia merkkejä, joten vastaava odotusarvo k^n on käsitteellisesti niin valtava, että käytännössä mahdoton saavuttaa vaikka maailmankaikkeus olisi äärettömän vanha.
Käytännön merkitys ja usein esiintyvät väärinkäsitykset
Monet kuvaavat teoreemaa sanoilla "apina lopulta kirjoittaa Hamletin". Tämä voi johtaa harhaan: matemaattisesti tapahtuma on todennäköisyydellä 1, mutta käytännössä se on saavuttamattoman epätodennäköistä. Erotus on sama kuin ero sanojen "varma" ja "todennäköinen käytännössä": matemaattinen varmuus ei tarkoita käytännön varmuutta, kun tarvittava aika tai resurssit ovat äärettömän suuret.
Lisäksi on hyvä muistaa, että teoreema koskee kaikkien mahdollisten äärettömien sekvenssien todennäköisyysjakaumaa. On olemassa äärettömiä sekvenssejä, joissa tiettyä pätkää ei koskaan esiinny — mutta niiden osuus (todennäköisyys) on nolla.
Laajennuksia, yhteyksiä ja sovelluksia
Äärettömän apinan ajatusmalli liittyy satunnaisuuden, stokastiikan ja informaatioteorian peruskäsitteisiin. Sitä käytetään usein pedagogisesti havainnollistamaan käsitteitä kuten lähes varmasti, satunnaisuus ja odotusarvo. Teoreemalla on myös yhteyksiä todennäköisyyslaskennan tuloksiin, kuten Borel-Cantellin lauseisiin.
Lisäksi apinan kuvauksen voi yleistää: esimerkiksi ääretön määrä apinoita, jotka kirjoittavat äärettömästi, tuottaa samat päättelyt. Tietojenkäsittelytieteessä aihe liittyy myös satunnaisiin algoritmeihin ja käsityksiin satunnaisuuden suhteesta rakenteeseen (esimerkiksi algoritminen kompleksisuus ja Kolmogorovin kompleksisuus).
Lyhyt historiallinen ja kulttuurinen huomautus
Ajatus satunnaisesta kirjoittajasta on vanha ja populaarikulttuurissa laaja-alaisesti tunnettu metafora. Se on herättänyt filosofisia kysymyksiä, kuten mitä sattuman tuottama teksti merkitsee merkityksen ja tarkoituksen kannalta. Kulttuurissamme ilmaus "ääretön apina" toimii usein leikillisenä tavalliselle yleisölle suunnattuna muistutuksena siitä, että epäjärjestyksestä voi teoriassa syntyä järjestystä, mutta käytännössä sellainen järjestys on epätodennäköinen.
Yhteenveto
Äärettömän apinan teoreema kertoo, että äärettömän ajan ja satunnaisen kirjoituksen oloissa mikä tahansa määrätty, äärellinen teksti esiintyy jossain vaiheessa lähes varmasti. Käytännössä kuitenkin tarvittavat resurssit (aika, näppäilyjen määrä) tekevät esimerkiksi koko Hamletin tuottamisesta satunnaisella näppäilyllä käytännössä mahdotonta. Teoreema on kiinnostava yhdistelmä matematiikkaa, intuitiota ja kulttuurista metaforaa — ja hyvä muistutus siitä, että matemaattinen varmuus ei aina tarkoita arkista toteutettavuutta.
Apina istuu tuolissa ja painelee painikkeita kirjoituskoneellaan.
Yksinkertaistettu todiste
Olkoon esimerkiksi, että Shakespeare kirjoitti "Wikipedia on maailman paras verkkosivusto". Jos apinalla ei ole ylimääräisiä merkkejä, kuten numeroita (esim. 4, 2) ja symboleja (esim. #, ~), apinalla on näppäimistöllä vain 53 asiaa, joita painaa. Nämä ovat: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z ja välilyönti.
Koska apina saa painaa vain 53 painiketta, se painaa lopulta W-painiketta. Tämä johtuu siitä, että apinalla on loputtomasti aikaa painaa painikkeita ja että sen mahdollisuus painaa W-painiketta on 1:53. Sitten se luultavasti painaa toista painiketta eikä kirjoita lausetta "Wikipedia on maailman paras verkkosivusto".
Mutta apinalla on ääretön aika. Se tarkoittaa, että se painaa W-painiketta yhteensä äärettömän monta kertaa. Joka kerta, kun apina painaa W-painiketta, sillä on 1:53 mahdollisuus painaa i-painiketta. Mutta koska "W"-painiketta painetaan äärettömän monta kertaa, myös sana "Wi" ilmestyy äärettömän monta kertaa. Tämä johtuu siitä, että mahdollisuus, että "i" seuraa "W"-painiketta, on yhtä suuri kuin "W"-painikkeen todennäköisyys, joka on 1/53, kerrottuna todennäköisyydellä, että "i" seuraa "W"-painiketta, joka on 1/53. Eli 1/2809. Se on todella pieni luku, mutta koska "W" ja "i" esiintyvät äärettömän monta kertaa apinan sanoissa, siitä tulee varmaa. Se tarkoittaa, että on 100 prosentin mahdollisuus, että lopulta sana "Wi" esiintyy. Koska apina kuitenkin painaa sanoja "W" ja "i" äärettömän monta kertaa, myös "Wi" esiintyy äärettömän monta kertaa.
Tämä jatkuu ja jatkuu. Lopulta, vielä pidemmän ajan kuluttua, syntyy sana "Wik", koska "Wi" esiintyy äärettömän monta kertaa ja "k" on 1:53 todennäköisyys seurata sitä. Koska "Wik" esiintyy äärettömän monta kertaa, tiedämme, että myös "Wiki" esiintyy lopulta. Sen lisäksi tiedämme, että "Wiki" esiintyy äärettömän monta kertaa.
Tätä logiikkaa noudattaen näemme "Wikip" ja "Wikipe" ja "Wikiped" ja "Wikipedi" aina siihen asti, kunnes näemme "Wikipedia on maailman paras verkkosivusto". Eikä vain sitä, vaan näemme sen loputtomasti.
Koska lause "Wikipedia on maailman paras verkkosivusto" oli mikä tahansa lause, edellä esitetyn todisteen avulla voidaan tietää, että mitä tahansa esiintyy äärettömän monta kertaa. Siksi tiedämme, että kaikki Shakespearen asiat esiintyvät. Jopa ne asiat, jotka hän heitti pois, jopa ne ajatukset, joita hänellä oli öisin, ja jopa Hamlet.
Tämä on sama kuin se, että voit löytää minkä tahansa numeroyhdistelmän (esimerkki: 1829192) luvusta pi, koska siinä on ääretön määrä satunnaislukuja.
Yllä oleva todistus oli esimerkki induktiotodistuksesta.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on äärettömän apinan lause?
A: Äärettömän apinan teoreema väittää, että apina, joka sattumanvaraisesti iskee näppäimiä kirjoituskoneella, kirjoittaa lopulta yhden William Shakespearen teoksista.
K: Onko lauseessa tarkoitettu "apina" aina oikea apina?
V: Ei, "apina" ei ole aina oikea apina - se voi olla esimerkki laitteesta, joka tuottaa satunnaisia kirjaimia.
K: Onko todennäköistä, että apina todella kirjoittaa Hamletin kaltaisen tekstin?
V: Ei, todennäköisyys sille, että apina todella kirjoittaisi Shakespearen Hamletin kaltaisen tekstin, on hyvin pieni.
K: Mitä äärettömän apinan teoreema osoittaa?
V: Äärettömän apinan teoreema osoittaa todennäköisyyden käsitteen ja ajatuksen siitä, että jos tarpeeksi aikaa annetaan, epätodennäköisimmätkin tapahtumat voivat tapahtua.
K: Kuka keksi äärettömän apinan lauseen?
V: Äärettömän apinan teoreema on liitetty useiden eri henkilöiden tekemäksi, mutta sen alkuperä on epäselvä.
Kysymys: Voidaanko äärettömän apinan teoreemaa soveltaa Shakespearen teosten lisäksi myös muihin kirjallisuuden teoksiin?
V: Kyllä, teoreemaa voidaan soveltaa mihin tahansa kirjalliseen teokseen - kunhan apinalla on ääretön määrä aikaa kirjoittaa.
K: Minkälaista laitetta voitaisiin käyttää "apinana" äärettömän apinan teoreemassa?
V: Mitä tahansa laitetta, joka tuottaa satunnaisia kirjaimia, kuten tietokoneohjelmaa tai konetta, joka simuloi kirjoituskoneen napinpainalluksia, voidaan käyttää "apinana" äärettömän apinan teoreemassa.
