Schwarzschildin metriikka

Johdanto

Vaikka Schwarzschildin metriikka voidaan laskea monimutkaisemmalla tavalla Christoffelin symbolien avulla, se voidaan johtaa myös pakonopeuden ( v e {\displaystyle v_{e}} ), aikadilataation (dt') ja pituuskontraktion (dr') yhtälöiden avulla:

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\2GM}{r}}}} (1)

v on hiukkasen nopeus
G on gravitaatiovakio
M on mustan aukon massa
r on se, kuinka lähellä hiukkanen on raskasta esinettä.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} (3)

dt' on hiukkasen todellinen muutos ajassa
dt on hiukkasen muutos ajassa
dr' on hiukkasen todellinen matka, jonka se on kulkenut
dr on hiukkasen muutos matkassa
v on hiukkasen nopeus
c on valon nopeus

Huomaa: hiukkasen todellinen aikaväli ja todellinen matka, jonka se kulkee, ovat erilaiset kuin klassisen fysiikan laskelmissa laskettu aika ja matka, koska se kulkee niin raskaassa gravitaatiokentässä!

Käyttämällä pallokoordinaatiston litteän avaruusajan yhtälöä:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} (4)

ds on hiukkasen matka

θ \displaystyle \theta } on kulma.
d θ {\displaystyle \theta } ja d ϕ {\displaystyle \phi } ovat kulmien muutokset.

Syöttämällä pakonopeuden, aikadilataation ja pituuden supistumisen yhtälöt (yhtälöt 1, 2 ja 3) litteän avaruusajan yhtälöön (yhtälö 4) saadaan Schwarzschildin metriikka:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} (5)

Tästä yhtälöstä voidaan ottaa Schwarzschildin säde ( r s {\displaystyle r_{s}} ), joka on mustan aukon säde. Vaikka tätä käytetään yleisimmin kuvaamaan Schwarzschildin mustaa aukkoa, Schwarzschildin säde voidaan laskea mille tahansa raskaalle kappaleelle.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} (6)

r s {\displaystyle r_{s}} on kohteen asetettu säteen raja.