Schwarzschildin metriikka: mustan aukon gravitaatiokentän ratkaisu

Schwarzschildin metriikka – Einsteinin kenttäyhtälöiden ratkaisu (1916) mustan aukon gravitaatiokentästä. Selkeä esitys kaavoista, liikkeestä ja astrofysiikan sovelluksista.

Tekijä: Leandro Alegsa

23-01-2026 19:49

Karl Schwarzschild löysi vuonna 1916 Schwarzschildin metriikan Einsteinin kenttäyhtälöiden tyhjiöratkaisuksi. Tämä ratkaisu on keskeinen yleisen suhteellisuusteorian sovelluksissa astrofysiikassa: se kuvaa gravitaatiokenttää pyörimättömän, pallomaisen mustan aukon ympärillä silloin, kun aukolla ei ole sähkövarausta, magneettikenttää eikä kosmologista vakioita. Metriikalla tarkoitetaan täältä sitä matemaattista yhtälöä, joka määrää avaruusajan etäisyyksien ja aikavälin muodon, eli miten hiukkaset ja valo kulkevat tässä kentässä.

Matemaattinen muoto

Schwarzschildin metriikka voidaan kirjoittaa koordinaateissa (t, r, θ, φ) seuraavasti:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Keskeiset käsitteet ja ominaisuudet

Schwarzschildin säde: Avainparametri on rs = 2GM / c². Kun r = rs, metriikan komponentti g_tt = -(1 - rs/r) muuttuu nollaksi. Tämä radius vastaa mustan aukon tapahtumahorisonttia (event horizon).
Tapahtumahorisontti: r = rs on koordinaatisingulaari Schwarzschildin koordinaateissa — se ei ole fysikaalinen singulariteetti, vaan häiritsevä käyttäytyminen valitussa koordinaatistossa. Horisontin yli päästäkseen täytyy käyttää esimerkiksi Eddington–Finkelsteinin tai Kruskal–Szekeresin koordinaatteja.
Fysikaalinen singulariteetti: r = 0 on todellinen kurvatuurisingulariteetti, jossa joukko skalaarisia käyriä kuten Riemannin käyräytymisinvariantit divergoivat.
Koordinaattien merkitys: r on niin sanottu ympyräsäteeksi (circumferential radius) tulkittava koordinaatti: ympyrän kehän pituus radiaalitasossa on 2πr.

Fyysiset vaikutukset ja testit

Schwarzschildin metriikka ennustaa useita havaittuja gravitaatiovaikutuksia:

Gravitaation aika-dilatointi ja punasiirtymä: Kellot käyvät hitaammin gravitaatiopotentiaalin syvyyksissä; kauempana oleva tarkkailija näkee lähempänä massaa olevan valon punaistuneena.
Valon taipuminen: Valonsäteet kaartuvat massan lähellä, mikä selittää esimerkiksi tähtien näennäiset paikanmuutokset auringon lähistöllä ja muodostaa perusmekanismin gravitaatiolinssityölle.
Periheliumin esisäde: Auringon kaltaisten massojen ympäri kiertävien kappaleiden kiertoradoissa tapahtuu periheliumin esisiirtymä (kuten Merkuriuksen tapauksessa), mikä oli tärkeä varhainen testi yleiselle suhteellisuudelle.
Valon viive (Shapiro-viive): Signaalin kulkuaika massan läheltä kasvaa verrattuna Newtonilaiseen arvioon.
Orbitin stabiilisuus ja erityiset säteet: Pieniä massa-alkuja varten olemassa on sisin pysyvä ympyräraja eli ISCO (innermost stable circular orbit) r = 6GM/c². Fotoneille on oma "photon sphere" r = 3GM/c².

Liikkeet ja geodeesit

Metriikka määrää geodeesit, eli järjestelmän luonnolliset liikeradat ilman voimia. Niistä saadaan liike- ja valonradat differentiaaliyhtälöiden kautta. Kappaleiden liikettä tutkittaessa ilmenee konservaatioperiaatteita, kuten energia- ja kulmamomentin säilyminen Schwarzschildin staattisessa tapauksessa, mikä helpottaa ratkaisujen löytymistä.

Rajoitukset ja yleistykset

Schwarzschildin metriikka pätee vain tarkasteltaessa spherisesti symmetristä, sähköttömän ja pyörimättömän massan ulkopuolista aluetta vakuumissa. Reaalimaailman mustat aukot yleensä pyörivät ja saattavat kantaa varausta; näitä kuvataan muilla ratkaisuilla:

Kierroksen sisältävät ratkaisut: Kerr-metriikka (rotaatio).
Sähkövaraus: Reissner–Nordström-metriikka.
Kun kosmologinen vakio ei ole nolla tai materiaa on jakaantunut monimutkaisesti, tarvitaan laajempia ratkaisuita.

Yhteenveto

Schwarzschildin metriikka on yksinkertaisin ja tärkein analyyttinen ratkaisu yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöille, ja se antaa selkeän mallin mustan aukon ulkopuolisesta avaruusajasta. Vaikka se jättää ulkopuolelle pyörimisen ja varauksen, sen ennusteet — kuten aika-dilatointi, valon taipuminen ja periheliumin esisiirtymä — ovat keskeisiä ja ovat saaneet vahvistusta havainnoissa. Metriikan matemaattinen muoto näkyy yllä ja sen tulkinta perustuu parametrien, erityisesti rs = 2GM/c², ymmärtämiseen sekä singulariteettien ja horisontin eroihin.

Johdanto

Vaikka Schwarzschildin metriikka voidaan laskea monimutkaisemmalla tavalla Christoffelin symbolien avulla, se voidaan johtaa myös pakonopeuden ( v e {\displaystyle v_{e}} $v_{e}$ ), aikadilataation (dt') ja pituuskontraktion (dr') yhtälöiden avulla:

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v on hiukkasen nopeus
G on gravitaatiovakio
M on mustan aukon massa
r on se, kuinka lähellä hiukkanen on raskasta esinettä.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' on hiukkasen todellinen muutos ajassa
dt on hiukkasen muutos ajassa
dr' on hiukkasen todellinen matka, jonka se on kulkenut
dr on hiukkasen muutos matkassa
v on hiukkasen nopeus
c on valon nopeus

Huomaa: hiukkasen todellinen aikaväli ja todellinen matka, jonka se kulkee, ovat erilaiset kuin klassisen fysiikan laskelmissa laskettu aika ja matka, koska se kulkee niin raskaassa gravitaatiokentässä!

Käyttämällä pallokoordinaatiston litteän avaruusajan yhtälöä:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds on hiukkasen matka

θ \displaystyle \theta } $\theta$ on kulma.
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ ja d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ ovat kulmien muutokset.

Syöttämällä pakonopeuden, aikadilataation ja pituuden supistumisen yhtälöt (yhtälöt 1, 2 ja 3) litteän avaruusajan yhtälöön (yhtälö 4) saadaan Schwarzschildin metriikka:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Tästä yhtälöstä voidaan ottaa Schwarzschildin säde ( r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ), joka on mustan aukon säde. Vaikka tätä käytetään yleisimmin kuvaamaan Schwarzschildin mustaa aukkoa, Schwarzschildin säde voidaan laskea mille tahansa raskaalle kappaleelle.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ on kohteen asetettu säteen raja.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Schwarzschildin metriikka?

V: Schwarzschildin metriikka on astrofysiikan alalla yleisestä suhteellisuusteoriasta peräisin oleva yhtälö, joka kuvaa, miten hiukkanen liikkuu mustan aukon lähellä olevan avaruuden läpi. Karl Schwarzschild laski sen Einsteinin kenttäyhtälöiden ratkaisuksi vuonna 1916.

K: Mihin metriikka viittaa?

V: Metriikka tarkoittaa yhtälöä, joka kuvaa avaruusaikaa; erityisesti Schwarzschildin metriikka kuvaa gravitaatiokenttää Schwarzschildin mustan aukon ympärillä.

K: Mitkä ovat Schwarzschildin mustan aukon ominaisuuksia?

V: Schwarzschildin musta aukko on pyörimätön, pallomainen, eikä sillä ole magneettikenttää. Lisäksi sen kosmologinen vakio on nolla.

K: Miten voimme kuvata Schwarzschildin mustan aukon ympärillä olevaa gravitaatiokenttää?

V: Voimme kuvata sitä käyttämällä Schwartzchildin metriikan yhtälöä, joka kuvaa, miten hiukkaset liikkuvat avaruudessa tämäntyyppisen mustan aukon lähellä.

K: Kuka ensimmäisenä laski tämän yhtälön?

V: Karl Schwartzchild laski tämän yhtälön ensimmäisen kerran Einsteinin kenttäyhtälöiden ratkaisuksi vuonna 1916.

K: Mitä (ds)^2 tarkoittaa tässä yhtälössä?

V: (ds)^2 edustaa kahden avaruusajan pisteen välistä etäisyyttä mitattuna aika- ja avaruuskoordinaattien suhteen.

Etsiä