Studentin t-jakauma | todennäköisyysjakauma

Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jonka William Sealy Gosset kehitti vuonna 1908. Student on salanimi, jota hän käytti julkaistessaan jakaumaa kuvaavan artikkelin.

Normaalijakauma kuvaa koko perusjoukkoa, t-jakaumat kuvaavat koko perusjoukosta poimittuja otoksia; vastaavasti t-jakauma on erilainen jokaiselle otoskoolle, ja mitä suurempi otos, sitä enemmän jakauma muistuttaa normaalijakaumaa.

T-jakaumalla on merkitystä monissa laajalti käytetyissä tilastollisissa analyyseissä, kuten Studentin t-testissä, jolla arvioidaan kahden otoskeskiarvon välisen eron tilastollista merkitsevyyttä, luottamusvälien muodostamisessa kahden populaatiokeskiarvon väliselle erolle ja lineaarisessa regressioanalyysissä. Studentin t-jakauma esiintyy myös normaaliperheen tietojen Bayesin analyysissä.

Historia

Gosset työskenteli panimossa ja oli kiinnostunut pienten näytteiden ongelmista, esimerkiksi ohran kemiallisista ominaisuuksista. Hänen analysoimissaan ongelmissa näytekoko saattoi olla vain kolme näytettä. Pienen otoskoon vuoksi keskihajonnan arviointi ei ole mahdollista. Lisäksi monissa Gossetin kohtaamissa tapauksissa näytteiden todennäköisyysjakaumaa ei tunnettu.

Yksi versio salanimen alkuperästä on se, että Gossetin työnantaja halusi, että työntekijät käyttävät tieteellisten julkaisujen julkaisemisessa kirjailijanimiä (oikean nimensä sijasta), joten hän käytti nimeä "Student" salatakseen henkilöllisyytensä. Toinen versio on, että panimo ei halunnut kilpailijoidensa tietävän, että he käyttivät t-testiä raaka-aineen laadun testaamiseen.

Ominaisuudet

Jos otamme n havainnon otoksen normaalijakaumasta, t-jakauma, jossa on ν = n-1 vapausastetta, voidaan määritellä otoskeskiarvon X sijainnin jakaumaksi ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} ${\overline {X}}$ suhteessa todelliseen keskiarvoon μ {\displaystyle \mu} {\displaystyle \mu } $\mu$ jaettuna otoksen keskihajonnalla s {\displaystyle s} $s$ normalisointitermillä n {\displaystyle {\sqrt {n}}} ${\sqrt {n}}$ (eli T = X ¯ - μ s / n {\displaystyle T={\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}} $T={\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}$ )). Tällä tavoin t-jakaumaa voidaan käyttää arvioimaan, kuinka todennäköisesti todellinen keskiarvo sijaitsee jollakin tietyllä alueella.

T-jakauma on symmetrinen ja kellonmuotoinen, kuten normaalijakauma, mutta sillä on raskaampi häntä, mikä tarkoittaa, että se tuottaa herkemmin arvoja, jotka ovat kaukana keskiarvosta. Tämän vuoksi se on hyödyllinen, kun halutaan ymmärtää tietynlaisten satunnaismäärien suhteiden tilastollista käyttäytymistä, joissa nimittäjässä esiintyvä vaihtelu vahvistuu ja voi tuottaa poikkeavia arvoja, kun suhteen nimittäjä laskee lähelle nollaa. Studentin t-jakauma on yleistetyn hyperbolisen jakauman erikoistapaus.

Aiheeseen liittyvät sivut

F-jakauma

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Studentin t-jakauma?

A: Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jonka William Sealy Gosset kehitti vuonna 1908. Se kuvaa koko populaatiosta otettuja otoksia, ja mitä suurempi otoskoko on, sitä enemmän se muistuttaa normaalijakaumaa.

K: Kuka kehitti Studentin t-jakauman?

V: William Sealy Gosset kehitti Studentin t-jakauman vuonna 1908. Hän käytti salanimeä "Student", kun hän julkaisi sitä kuvaavan artikkelin.

Kysymys: Mihin Studentin t-jakaumaa voidaan käyttää?

V: Studentin t-jakaumalla on merkitystä monissa laajalti käytetyissä tilastollisissa analyyseissä, kuten Studentin t-testissä kahden otoskeskiarvon välisten erojen tilastollisen merkitsevyyden arvioimiseksi, luottamusvälien muodostamiseksi kahden populaatiokeskiarvon välisille eroille ja lineaarisessa regressioanalyysissä. Se esiintyy myös normaaliperheen tietojen Bayesin analyysissä.

Kysymys: Miten otoskoko vaikuttaa t-jakauman muotoon?

V: Mitä suurempi otoskoko on, sitä enemmän se muistuttaa normaalijakaumaa. Kullekin eri otoskoolle on olemassa sitä kuvaava yksilöllinen t-jakauma.

K: Onko opiskelijan T-jakauman ja normaalijakauman välillä mitään yhteyttä?

V: Kyllä - kun normaalijakaumat kuvaavat kokonaisia populaatioita, opiskelijan T-jakaumat kuvaavat kyseisistä populaatioista poimittuja otoksia; näin ollen niillä on yhtäläisyyksiä, mutta ne eroavat toisistaan niiden koosta riippuen. Kuten edellä mainittiin, suuremmilla otoksilla on taipumus näyttää enemmän normaalijakaumilta kuin pienemmillä.

Kysymys: Onko tälle jakaumatyypille olemassa jokin muu nimi?

V: Ei - tämä jakaumatyyppi tunnetaan nimellä "Studentin T-jakauma", joka on saanut nimensä sen kehittäjän William Sealy Gossetin mukaan, joka käytti salanimeä "Student" julkaistessaan sitä koskevan artikkelinsa.