AlegsaOnline.com

Fermat'n viimeinen lause (FLT) — määritelmä ja historia

Fermat'n viimeinen lause (FLT) — historian ja todisteen tarina: Fermat 1637, mysteeri 357 vuotta, ratkaisu 1995. Lue määritelmä, merkitys ja kiehtova historia.

Tekijä: Leandro Alegsa

09-10-2025

Fermat'n viimeinen lause eli FLT on hyvin kuuluisa matematiikan idea. Sen mukaan:

Jos n {\displaystyle n} on kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2, yhtälöllä $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ei ole ratkaisuja, kun x, y ja z ovat luonnollisia lukuja.

Tai,

On mahdotonta ilmaista kokonaislukuina kahta kuutiota, jotka yhteenlaskettuna ovat yhtä suuria kuin kolmas kuutio. Lisäksi se on mahdotonta millään neliöitä suuremmalla.

Tämä tarkoittaa, että ei ole olemassa esimerkkejä, joissa x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} ja z {\displaystyle z} $z$ ovat luonnollisia lukuja eli nollaa suurempia kokonaislukuja ja joissa n {\displaystyle n} on kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2. Pierre de Fermat kirjoitti siitä vuonna 1637 Arithmetica-nimisen kirjansa sisällä. Hän sanoi: "Minulla on todiste tästä lauseesta, mutta tässä marginaalissa ei ole tarpeeksi tilaa". Oikeaa todistusta ei kuitenkaan löydetty 357 vuoteen. Lopulta se todistettiin vuonna 1995. Useimmat matemaatikot eivät usko, että Fermatilla itse asiassa koskaan oli marginaalitodistusta tästä lauseesta.

Alkuperäisessä muodossaan ongelma on seuraava:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Selkeämpi muotoilu

Fermat'n viimeinen lause väittää: ei ole olemassa kolmea positiivista kokonaislukua x, y ja z ja kokonaislukua n > 2 siten, että xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Esimerkiksi n = 2:lle on äärettömän monta ratkaisua (Pythagoraan lukujoukot kuten 3, 4, 5), mutta lause sanoo, että n = 3, 4, 5, ... -tapauksille ei löydy yhtään ratkaisua.

Tärkeimmät askeleet ja historialliset tulokset

1637: Pierre de Fermat kirjoitti kuuluisan huomautuksensa kirjaansa Arithmetica, väittäen, että hänellä on "ihmeellinen todistus", mutta marginaali on liian pieni.
XVII–XIX vuosisadat: Lauseesta todistettiin eräitä erikoistapauksia: Fermat itse todisti n = 4 -tapauksen käyttäen äärettömän paluuketjun (infinite descent) menetelmää. Euler todisti n = 3 -tapauksen. Dirichlet ja Legendre todistivat n = 5 -tapauksen.
1800-luvun puoliväli: Ernst Kummer kehitti ideaalialgebran käsitteen ja osoitti lauseen monille eksponenteille (ns. "regular primes"). Tämä työ synnytti algebraisen lukuteorian merkittäviä uusia ideoita.
1900-luvun loppu: Monet tutkijat (mm. Sophie Germain, Germainin seurue, muita erikoistuloksia) edistivät erityistapauksia, mutta yleinen todistus pysyi löytämättä.
1980-luku: Gerhard Frey ehdotti, että jos Fermat'n yhtälöllä olisi ratkaisu, siitä voisi rakentaa erikoisen elliptisen käyrän (nyk. Frey-käyrä), jolla olisi poikkeuksellisia ominaisuuksia.
1986: Ken Ribet näytti, että Frey-käyrä ei voisi olla modulaarinen, jos alkuperäinen yhtälö olisi ratkaistavissa. Tämä yhdisti FLT:n Taniyama–Shimura–Weil -modulaarisuuskonjektiin.
1994–1995: Andrew Wiles, myöhemmin yhdessä Richard Taylorin kanssa, todisti Taniyama–Shimura -konjektin em. erikoistapauksen (semistable elliptic curves), mikä yhdessä Ribetin tuloksen kanssa tarkoitti, että Fermat'n viimeinen lause oli todistettu. Lopullinen artikkeli julkaistiin 1995.

Lyhyt kuvaus todistuksen ideasta

Wilesin todistus ei ollut suora numeroalgebraan perustuva todistus siitä, ettei xⁿ + yⁿ = zⁿ voi tapahtua. Sen sijaan todistus käy niin, että oletetaan ensimmäisenä olemassa mahdollinen ratkaisu ja rakennetaan siitä Frey-käyrä (elliptinen käyrä). Ribetin tuloksen mukaan tämä käyrä ei voi olla modulaarinen. Taniyama–Shimura–Weil -konjektin (modulaarisuusteoreema) mukaan kuitenkin kaikki elliptiset käyrät tietynlaisissa olosuhteissa ovat modulaarisia. Wiles todisti tarpeeksi suuren erikoistapauksen tästä konjektista (semistable-käyrille), mikä johtaa ristiriitaan. Siis alkuperäistä ratkaisua ei voi olla. Todistus käy läpi syvällisiä työkaluja: Galois-edustuksia, modulaarisia muotoja ja teoreemoita, joita ei ollut Fermatin tai 1800-luvun matemaatikoiden saatavilla.

Miksi asia oli vaikea ja miksi se on merkittävä

Vaikeus: yhtälön yleinen ratkaisemattomuus vaati uusia, syvälle ulottuvia rakenteita (elliptiset käyrät, Galois-edustukset, modulaarisuus), jotka yhdistävät eri matematiikan aloja.
Merkitys: työ loi ja yhdisti paljon uutta teoriaa. Kummerin työ synnytti ideaalien ja algebraisen lukuteorian, Wilesin työ syvensi ymmärrystä elliptisistä käyristä ja modulaarisista muodoista.
Fermatin merkitys: vaikka Fermat itse tuskin oli ratkaissut yleistä tapausta, hänen huomautuksensa innoitti vuosisatoja matemaatikkoja kehittämään uusia teorioita.

Yleisön esimerkit ja huomautuksia

Helppo tapa ymmärtää lause on vertailla n = 2 ja n > 2 tapoja. n = 2:lle on esim. 3² + 4² = 5². Lause kertoo, että mitään vastaavaa ei ole esimerkiksi 3³ + y³ = z³ -muodossa, eikä millään suuremmalla n:llä ole ratkaisua positiivisilla kokonaisluvuilla.

Päätelmä ja jälkivaikutukset

Fermat'n viimeisen lauseen ratkaisu on esimerkki siitä, miten yhden yksinkertaisen lauseen ympärille voi kasvaa kokonainen matemaattinen ala. Todistus vuonna 1995 päätti yli kolmesataa vuotta jatkuneen arvoituksen, mutta samalla se avasi uusia tutkimuspolkuja ja vahvisti yhteyksiä eri matematiikan osa-alueiden välillä.

Yleiskatsaus

Fermat'n viimeinen lause on Pythagoraan lauseen yleisempi muoto, joka on yhtälö, joka sanoo:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Kun a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ ja c {\displaystyle c} $c$ ovat kokonaislukuja, tätä kutsutaan "Pythagoraan kolmikoksi". Esimerkiksi: $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ ja koska ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ voimme sanoa, että $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ on Pythagoraan kolmikko. Fermat'n viimeinen teoreema kirjoittaa tämän uudelleen muotoon

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

ja väittää, että jos teet n {\displaystyle n} suuremmaksi kokonaisluvuksi kuin 2, niin a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} $b$ ja c {\displaystyle c} $c$ eivät voi kaikki olla luonnollisia lukuja. Esimerkiksi $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ ja ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ , joten $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ on esimerkki, joka vahvistaa tämän.

Yhtälön kvadraattisesta

x ja y ovat kaksi tuntematonta summaa, jotka summaavat kuvitteellisen kolmannen summan z. Vaikka termejä on neljä: n, x, y ja z, n on funktio, joka summaa tuntemattomien summien kokonaismäärän. Nolla puuttuu tästä yhtälöstä säännön "1 plus 1 on 2 eikä enempää" mukaisesti, eli 1+1=2+0.

Selvennyksenä mainittakoon, että n:n tiedetään olevan summa.

Todiste

Todistus tehtiin joillekin n:n arvoille {\displaystyle n} esimerkiksi n = 3 {\displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {\displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {\displaystyle n=5} $n=5$ ja n = 7 {\displaystyle n=7}. $n=7$ , jota monet matemaatikot, kuten Fermat, Euler ja Sophie Germain, hallitsivat. Koska Pythagoraan kolmosia on kuitenkin ääretön määrä, koska numerot laskevat ikuisesti ylöspäin, tämä teki Fermat'n viimeisestä lauseesta vaikeasti todistettavan tai kumottavan; täydellisen todistuksen on osoitettava, että yhtälöllä ei ole ratkaisua kaikille n {\displaystyle n} arvoille (kun n {\displaystyle n} on kokonaisluku, joka on isompi kuin 2), mutta ei ole mahdollista yksinkertaisesti tarkastaa jokaista numeroyhdistelmää, jos ne jatkuvat ikuisesti.

Englantilainen matemaatikko Andrew Wiles löysi ratkaisun vuonna 1995, 358 vuotta Fermat'n kirjoituksen jälkeen. Richard Taylor auttoi häntä ratkaisun löytämisessä. Todistus vaati kahdeksan vuoden tutkimustyön. Hän todisti lauseen todistamalla ensin modulaarisuusteoremin, jota silloin kutsuttiin Taniyama-Shimura-epäilyksi. Ribet'n lauseen avulla hän pystyi antamaan todisteen Fermat'n viimeiselle lauseelle. Hän sai Göttingenin akatemian Wolfskehl-palkinnon kesäkuussa 1997: se oli suuruudeltaan noin 50 000 Yhdysvaltain dollaria.

Muutaman vuoden keskustelun jälkeen ihmiset olivat yhtä mieltä siitä, että Andrew Wiles oli ratkaissut ongelman. Andrew Wiles käytti paljon nykyaikaista matematiikkaa ja jopa loi uutta matematiikkaa tehdessään ratkaisua. Tämä matematiikka oli tuntematonta, kun Fermat kirjoitti kuuluisan muistiinpanonsa, joten de Fermat ei olisi voinut käyttää sitä. Tämä antaa aihetta uskoa, että de Fermatilla ei itse asiassa ollut täydellistä ratkaisua ongelmaan.

Todisteiden arvostelu

Vos Savant kirjoitti vuonna 1995, että Wilesin todistus olisi hylättävä, koska se käyttää ei-euklidista geometriaa. Hän sanoi, että "todisteluketju perustuu hyperboliseen (Lobatševskin) geometriaan", ja koska tämä geometria sallii sellaiset asiat kuin ympyrän neliöiminen, joka on "kuuluisa mahdottomuus", vaikka se on mahdollista hyperbolisessa geometriassa, niin "jos hylkäämme hyperbolisen menetelmän ympyrän neliöimiseksi, meidän pitäisi hylätä myös Fermat'n viimeisen lauseen hyperbolinen todistus".

Todistus ilman elliptistä

Kun n:n tiedetään summaavan kaksi järjestyslukua, se ei voi ylittää laskettua arvoa 2, jos suurempana pidetään yhtä yksikköä.

Yleistäminen

Sijoittaja Andrew Bealin esittämä Bealin yleistämiskonjektuuri (Beal's Generalization Conjecture tai Beal Conjecture) kysyy, miksi tämänkaltaisissa yhtälöissä, joiden yleinen muoto on aˣ+bʸ=cᶻ, on aina yhteisiä tekijöitä (kuten paristojen kennot).

Lisää lukemista

Aczel, Amir (30. syyskuuta 1996). Fermat's Last Theorem: muinaisen matemaattisen ongelman salaisuuden avaaminen. Neljä seinää, kahdeksan ikkunaa. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007). Hämmästyttäviä jälkiä babylonialaisesta alkuperästä kreikkalaisessa matematiikassa. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
Kleiner I (2000). "Fermatista Wilesiin: Fermat'n viimeinen lause muuttuu lauseeksi" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 2012-02-19. Haettu 2011-08-17.
Mordell L.J. (1921). Kolme luentoa Fermat'n viimeisestä lauseesta. Cambridge: Cambridge University Press.
Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Johdatus moderniin lukuteoriaan (Matemaattisten tieteiden tietosanakirja. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). Fermat'n viimeinen lause amatööreille. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
Singh, Simon (lokakuu 1998). Fermatin arvoitus. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Fermat'n viimeinen lause?

V: Fermat'n viimeinen lause (FLT) sanoo, että jos n on kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2, yhtälöllä x^n + y^n = z^n ei ole ratkaisuja, kun x, y ja z ovat luonnollisia lukuja. Toisin sanoen on mahdotonta ilmaista kokonaisluvuilla kahta kuutiota, jotka yhteenlaskettuina ovat yhtä suuria kuin kolmas kuutio tai mitään neliöitä suurempaa.

Kysymys: Milloin FLT kirjoitettiin?

V: Pierre de Fermat kirjoitti FLT:stä vuonna 1637 Arithmetica-nimisen kirjansa sisällä.

K: Mitä Fermat sanoi lauseesta?

V: Hän sanoi: "Minulla on todiste tästä lauseesta, mutta tässä marginaalissa ei ole tarpeeksi tilaa".

K: Kuinka kauan FLT:n todistaminen kesti?

V: FLT:n oikea todistaminen kesti 357 vuotta; se saatiin lopulta todistettua vuonna 1995.

K: Uskovatko matemaatikot, että Fermatilla oli varsinainen todiste lauseelle?

V: Useimmat matemaatikot eivät usko, että Fermatilla oli todellisuudessa marginaalitodistus tästä lauseesta.

K: Mitä alkuperäisessä ongelmassa sanotaan?

V: Alkuperäisessä ongelmassa sanotaan, että on mahdotonta jakaa cubum autem (kuutio) kahdeksi kuutioksi tai quadratoquadratum (neliö-neliö) kahdeksi neliö-neliöksi, ja yleensä mitään muuta kuin neliöitä ei voida jakaa kahdeksi samannimiseksi, jolloin osoittaminen on huomattavaa, mutta liian suurta marginaalin kokoon nähden.