Fermat’n suuri lause | hyvin kuuluisa ajatus matematiikassa

Yleiskatsaus

Fermat'n viimeinen lause on Pythagoraan lauseen yleisempi muoto, joka on yhtälö, joka sanoo:

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}}

Kun a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} ovat kokonaislukuja, tätä kutsutaan "Pythagoraan kolmikoksi". Esimerkiksi: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25}} ja koska 25 2 = 5 {\displaystyle {\sqrt[{2}]{25}}=5} voimme sanoa, että 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}} on Pythagoraan kolmikko. Fermat'n viimeinen teoreema kirjoittaa tämän uudelleen muotoon

x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}}

ja väittää, että jos teet n {\displaystyle n} suuremmaksi kokonaisluvuksi kuin 2, niin a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} eivät voi kaikki olla luonnollisia lukuja. Esimerkiksi 3 3 + 4 3 = 27 + 64 = 91 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}=27+64=91} ja 91 3 = 4.49794144528 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528}} , joten 3 3 + 4 3 = 4.49794144528 3 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}} on esimerkki, joka vahvistaa tämän.

Yhtälön kvadraattisesta

x ja y ovat kaksi tuntematonta summaa, jotka summaavat kuvitteellisen kolmannen summan z. Vaikka termejä on neljä: n, x, y ja z, n on funktio, joka summaa tuntemattomien summien kokonaismäärän. Nolla puuttuu tästä yhtälöstä säännön "1 plus 1 on 2 eikä enempää" mukaisesti, eli 1+1=2+0.

Selvennyksenä mainittakoon, että n:n tiedetään olevan summa.

 

Todiste

Todistus tehtiin joillekin n:n arvoille {\displaystyle n} esimerkiksi n = 3 {\displaystyle n=3} , n = 4 {\displaystyle n=4} , n = 5 {\displaystyle n=5} ja n = 7 {\displaystyle n=7}. , jota monet matemaatikot, kuten Fermat, Euler ja Sophie Germain, hallitsivat. Koska Pythagoraan kolmosia on kuitenkin ääretön määrä, koska numerot laskevat ikuisesti ylöspäin, tämä teki Fermat'n viimeisestä lauseesta vaikeasti todistettavan tai kumottavan; täydellisen todistuksen on osoitettava, että yhtälöllä ei ole ratkaisua kaikille n {\displaystyle n} arvoille (kun n {\displaystyle n} on kokonaisluku, joka on isompi kuin 2), mutta ei ole mahdollista yksinkertaisesti tarkastaa jokaista numeroyhdistelmää, jos ne jatkuvat ikuisesti.

Englantilainen matemaatikko Andrew Wiles löysi ratkaisun vuonna 1995, 358 vuotta Fermat'n kirjoituksen jälkeen. Richard Taylor auttoi häntä ratkaisun löytämisessä. Todistus vaati kahdeksan vuoden tutkimustyön. Hän todisti lauseen todistamalla ensin modulaarisuusteoremin, jota silloin kutsuttiin Taniyama-Shimura-epäilyksi. Ribet'n lauseen avulla hän pystyi antamaan todisteen Fermat'n viimeiselle lauseelle. Hän sai Göttingenin akatemian Wolfskehl-palkinnon kesäkuussa 1997: se oli suuruudeltaan noin 50 000 Yhdysvaltain dollaria.

Muutaman vuoden keskustelun jälkeen ihmiset olivat yhtä mieltä siitä, että Andrew Wiles oli ratkaissut ongelman. Andrew Wiles käytti paljon nykyaikaista matematiikkaa ja jopa loi uutta matematiikkaa tehdessään ratkaisua. Tämä matematiikka oli tuntematonta, kun Fermat kirjoitti kuuluisan muistiinpanonsa, joten de Fermat ei olisi voinut käyttää sitä. Tämä antaa aihetta uskoa, että de Fermatilla ei itse asiassa ollut täydellistä ratkaisua ongelmaan.

Todisteiden arvostelu

Vos Savant kirjoitti vuonna 1995, että Wilesin todistus olisi hylättävä, koska se käyttää ei-euklidista geometriaa. Hän sanoi, että "todisteluketju perustuu hyperboliseen (Lobatševskin) geometriaan", ja koska tämä geometria sallii sellaiset asiat kuin ympyrän neliöiminen, joka on "kuuluisa mahdottomuus", vaikka se on mahdollista hyperbolisessa geometriassa, niin "jos hylkäämme hyperbolisen menetelmän ympyrän neliöimiseksi, meidän pitäisi hylätä myös Fermat'n viimeisen lauseen hyperbolinen todistus".

Todistus ilman elliptistä

Kun n:n tiedetään summaavan kaksi järjestyslukua, se ei voi ylittää laskettua arvoa 2, jos suurempana pidetään yhtä yksikköä.

 
Brittiläinen matemaatikko Andrew Wiles  

Yleistäminen

Sijoittaja Andrew Bealin esittämä Bealin yleistämiskonjektuuri (Beal's Generalization Conjecture tai Beal Conjecture) kysyy, miksi tämänkaltaisissa yhtälöissä, joiden yleinen muoto on aˣ+bʸ=cᶻ, on aina yhteisiä tekijöitä (kuten paristojen kennot).

 

Lisää lukemista

• Aczel, Amir (30. syyskuuta 1996). Fermat's Last Theorem: muinaisen matemaattisen ongelman salaisuuden avaaminen. Neljä seinää, kahdeksan ikkunaa. ISBN 978-1-568-58077-7.
• Friberg, Joran (2007). Hämmästyttäviä jälkiä babylonialaisesta alkuperästä kreikkalaisessa matematiikassa. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-9812704528.
• Kleiner I (2000). "Fermatista Wilesiin: Fermat'n viimeinen lause muuttuu lauseeksi" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 2012-02-19. Haettu 2011-08-17.
• Mordell L.J. (1921). Kolme luentoa Fermat'n viimeisestä lauseesta. Cambridge: Cambridge University Press.
• Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Johdatus moderniin lukuteoriaan (Matemaattisten tieteiden tietosanakirja. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
• Ribenboim P (2000). Fermat'n viimeinen lause amatööreille. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
• Singh, Simon (lokakuu 1998). Fermatin arvoitus. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.