Catalanin kappaleet ovat geometrinen käsite: jokaiselle arkimedealaiselle kiinteälle kappaleelle on olemassa sen kaksinaisuus, eli siihen liittyvä dual-kappale. Näitä dualeja kutsutaan Catalanin (tai katalaaniksi suomennettuna) kappaleiksi. Catalanin kappaleita on yhteensä 13, yhtä monta kuin arkimedealaisia kiinteitä kappaleita (poislukien äärettömät perheet, kuten prizmat ja antiprizmat). Ne ovat kaikki kuperia monitahokkaita, ja ne on nimetty belgialaisen matemaatikon Eugène Charles Catalanin mukaan.

Määritelmä ja suhde arkimedealaisiin kappaleisiin

Catalanin kappaleet muodostuvat ottamalla arkimedealaisen kappaleen duali: tässä jokainen arkimedealaisen kappaleen tahko vastaa Catalanin kappaleen huippua ja päinvastoin. Archimedean-kappaleet ovat tyypillisesti isogonaalisia (symmetria siirtää huippuja toisiinsa), ja niiden dualit ovat isoedraalisia: symmetria siirtää kasvot toisiinsa. Tästä syystä Catalanin kappaleet ovat kasvotranslatiivisia (isohedraalisia) — kaikki tahkot ovat keskenään kongruentteja.

Ominaisuudet

  • Kaikki Catalanin kappaleet ovat kuperia monitahokkaita.
  • Jokaisen Catalanin kappaleen kaikki tahkot ovat keskenään samanmuotoisia (kongruentteja), mutta useimmiten eivät säännöllisiä monikulmioita. Tahkot voivat olla esimerkiksi rombeja, lippuja (deltoideja) tai kolmioita.
  • Catalanin kappaleet ovat isohedraalisia (kasvotranslatiivisia): niiden symmetriaryhmä toimii tahkojen päällä transitioivasti.
  • Ne eivät yleensä ole vertauksellisesti (isogonaalisia) symmetrisiä eli huiput eivät välttämättä ole kaikki samanlaisia.
  • Kullekin arkimedealaiselle kappaleelle on tarkalleen yksi parillinen Catalanin duali, ja niiden särmät vastaavat alkuperäisen kappaleen särmiä.

Esimerkkejä

Tunnettuja Catalanin kappaleita ovat muun muassa:

  • Rombinen dodekaedri (rhombic dodecahedron) — duali kuutio-octaedrille (cuboctahedron).
  • Rombinen triakontaedri (rhombic triacontahedron) — duali icosidodecahedronille.
  • Triakis tetrahedron — duali truncatetulle tetraedrille (truncated tetrahedron). Tämä on esimerkki Catalanin kappaleesta, jonka tahkot ovat kolmiomuotoisia.

Nämä esimerkit kuvaavat, kuinka tahkojen muoto vaihtelee: joissain Catalanin kappaleissa tahkot ovat rombeja, toisissa lippamuotoisia (deltoideja) tai kolmioita, riippuen alkuperäisen arkimedealaisen kappaleen tahkojen järjestelystä.

Historia ja nimi

Nimi tulee Eugène Charles Catalanilta (1814–1894), joka tutki näitä dualikappaleita 1800-luvulla. Catalanin työn myötä muodostui selkeä yhteys arkimedealaisten kappaleiden ja niiden dualien välillä, ja nykyisin nämä 13 dualia tunnetaan yleisesti Catalanin kappaleina.

Yhteenvetona: Catalanin kappaleet ovat arkimedealisten kappaleiden dualeja, niissä on 13 eri muunnosta, ne ovat kuperia ja isohedraalisia, ja niiden tahkot ovat keskenään kongruentteja mutta yleensä ei-säännöllisiä.