Vuonna 1900 matemaatikko David Hilbert julkaisi luettelon 23 ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta. Ongelmaluettelo osoittautui hyvin vaikutusvaltaiseksi: se ohjasi suuren osan 1900-luvun matemaattisesta tutkimuksesta ja muodosti työlistan monille tutkijaryhmille ympäri maailmaa. Hilbertin kuoleman jälkeen hänen jälkitöistään löytyi vielä yksi luonnosongelma, jota nykyään joskus kutsutaan Hilbertin 24. ongelmaksi. Tämä "24." koskee kriteerien etsimistä, joiden avulla voidaan osoittaa, että tietty ratkaisu on yksinkertaisin mahdollinen ja että ratkaisuprosessi on optimaalinen.

Mitä ongelmat koskivat?

Hilbertin 23 ongelmaa kattoi laajan joukon matematiikan aloja: määrälliset ja laadulliset kysymykset lukuteoriassa, topologiassa, analyyttisessä teoriassa, geometriassa, integraali- ja differentiaaliyhtälöissä sekä sääntöjen ja aksioomien luomiseen liittyvissä perustakysymyksissä. Osa ongelmista oli hyvin täsmällisesti muotoiltuja, osa taas tarkoituksella laajoja ja monitulkintaisia — Hilbert halusi haastaa tulevat sukupolvet kehittymään uusilla menetelmillä.

Merkittäviä ratkaisuja ja nykyinen tilanne

Monet Hilbertin ongelmista ovat sittemmin ratkaistu joko täysin tai osittain. Joitakin tunnetuimpia ratkaisuja ja kehityskulkuja:

  • 1. ongelma (kontinuumihypoteesi) — Cantorin kontinuumihypoteesi osoittautui riippumattomaksi ZFC-aksioomistosta: Gödel todisti hypoteesin olevan ristiriidaton ZF:ssä jos ZF on ristiriidaton (1938) ja Cohen näytti sille riippumattomuuden (1963). Näin kysymys ei ratkea pelkästään vakiintuneilla ZFC-aksioomilla.
  • 2. ongelma (aritmetiikan konsistenssi) — Gödelin epätäydellisyyslauseet osoittivat rajoja Hilbertin alkuperäiselle pyrkimykselle todistaa luonnollisten lukujen aritmetiikan konsistenssi täysin formaalisti, mikä muutti perustakysymysten käsittelyä.
  • 3. ongelma — Dehn ratkaisi kirjainmuotoisen kolmiulotteisten kappaleiden halkaistavuuskysymyksen antamalla Dehn-invariantin, joka osoitti ettei kaikkia kongruentteja polyedreja voi paloitella toisikseen.
  • 5. ongelma — Hilbertin 5. ongelma (topologiset ryhmät ja niiden analyysi) ratkaistiin 1950-luvulla (työntekijöinä mm. Gleason, Montgomery ja Zippin), mikä vahvisti yhteyksiä differentiaaligeometrian ja ryhmäteorian välillä.
  • 7. ongelma — Gelfondin ja Schneiderin tulokset sekä myöhemmät kehitykset ratkaisevat monia eksponenttisia riippumattomuus- ja transsendenssikysymyksiä, joiden ydinajatukset löytyvät tästä ongelmasta.
  • 10. ongelma — Matiyasevichin ratkaisu (1970), täydentäen Davis–Putnam–Robinsonin työtä, osoitti, että diofanttisten yhtälöiden ratkaisujen yleistä päätettävyyttä ei ole: ei ole algoritmia joka päättäisi kaikkien diofanttisten yhtälöiden ratkeavuuden. Tämä oli radikaali tulos laskennallisen päätettävyyden kannalta.
  • 18. ongelma — Sisältää mm. tilaus- ja pakkautumiskysymyksiä. Keplerin konjektuurin (suurimman pallopakkauksen muoto) todisti Thomas Hales (1998) ja sen tietomuotoinen varmentaminen (Flyspeck) valmistui myöhemmin, tosin ongelma sisältää myös muita osia, kuten tasoitusten ja symmetriajoukkojen luokittelun.
  • 21. ongelma (Riemannin monodromiakysymys / Riemann–Hilbert) — alkuperäinen muotoilu sai osittaisia ratkaisuja (Plemelj), mutta myöhemmin paljastui, että yksinkertainen muotoilu ei kata kaikkia tapauksia: Bolibruch löysi vastauksia, jotka tuoivat esiin odottamattomia obstruktioita, joten tämä alue on osittain ratkaistu mutta herättää edelleen laajaa tutkimusta.
  • 14., 16. ja useat muut — joihinkin ongelmiin on löytynyt odottamattomia vastauksia tai vastaesimerkkejä (esim. Nagatan esimerkit liittyen 14. ongelman väitteisiin), toisiin on kehitetty osittaisia ratkaisumenetelmiä tai yleisiä raamistoja, jotka avaavat uusia tutkimussuuntautumia.

On tärkeää huomata, että joidenkin ongelmien kohdalla puhutaankin nykyään siitä, että ne ovat joko täysin ratkaistuja, osittain ratkaistuja tai että ne on todettu riippumattomiksi valituista aksioomajärjestelmistä. Arviot vaihtelevat hieman lähteestä riippuen; esimerkiksi joissakin yleiskatsauksissa mainitaan, että 2000-luvun alussa vain muutama alkuperäisistä 23 ongelmasta oli edelleen laajalti tunnustetusti täysin ratkaisematta, osa katsottiin liian epämääräisiksi sellaisenaan ja useisiin löytyi merkittäviä osaratkaisuja.

Hilbertin 24. ongelma

Hilbertin 24. ongelma löytyi vasta hänen kuolemansa jälkeen julkaistuista muistiinpanoista. Se ei ollut osa alkuperäistä 1900 esitystä, mutta sen sisältö — kriteerien etsiminen sille, milloin ja miten todistusta voidaan pitää "yksinkertaisimpana" tai "optimaalisena" — on herättänyt filosofista ja teknistä kiinnostusta. Kysymykseen liittyy muun muassa todistusten kompleksisuuden mittaaminen, algoritmisten menetelmien etsiminen yksinkertaisuuden osoittamiseksi sekä automaattisen todistamisen ja formaalin todistuksen teorian kehitys.

Vaikutus ja perintö

Hilbertin ongelmilla oli ja on yhä valtava vaikutus matematiikkaan: ne toimivat tutkimuksen ohjaajina, inspiroivat uusia aloja ja loivat yhteyksiä eri matemaattisten alueiden välille. Vuosituhannen vaihteessa Clay Mathematics Institute julkaisi oman "Millennium Prize Problems" -luettelonsa, joka oli suora kannanotto Hilbertin esimerkin jatkamisesta: seitsemälle vaikealle ongelmalle tarjottiin miljoonan dollarin palkkiot niiden ratkaisemisesta. Esimerkkinä Poincarén konjektuuri (yksi Clayn ongelmista) ratkesi Grigori Perelmanin työllä 2000-luvun alussa.

Hilbertin lista muistuttaa siitä, miten yksittäiset selkeästi muotoillut ongelmat voivat muokata kokonaisia tieteenaloja. Monet nykyajan tutkimusteemat — laskennallinen monimutkaisuus, formaali todistusteoria, algebraiset ja analytiset menetelmät, geometriset ja topologiset kysymykset — kantavat edelleen Hilbertin perintöä.