Hilbertin ongelmat
Vuonna 1900 matemaatikko David Hilbert julkaisi luettelon 23 ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta. Ongelmaluettelo osoittautui hyvin vaikutusvaltaiseksi. Hilbertin kuoleman jälkeen hänen kirjoituksistaan löytyi vielä yksi ongelma, joka tunnetaan nykyään joskus Hilbertin 24. ongelmana. Tässä ongelmassa on kyse sellaisten kriteerien löytämisestä, joiden avulla voidaan osoittaa, että ongelman ratkaisu on yksinkertaisin mahdollinen.
Näistä 23 ongelmasta kolme oli ratkaisematta vuonna 2012, kolme oli liian epämääräisiä ratkaistavaksi ja kuusi voitiin ratkaista osittain. Ongelmien vaikuttavuuden vuoksi Clay Mathematics Institute laati vuonna 2000 samanlaisen luettelon, jota kutsuttiin Millennium Prize Problems -ongelmiksi.
Yhteenveto
Joidenkin ongelmien muotoilu on parempi kuin toisten. Puhtaasti muotoilluista Hilbert-ongelmista ongelmien 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 ja 21 ratkaisu hyväksytään yksimielisesti. Toisaalta ongelmien 1, 2, 5, 9, 15, 18+ ja 22 ratkaisut hyväksytään osittain, mutta on kiistanalaista, ratkaiseeko se ongelman.
Tehtävän 18, Keplerin arvelun, ratkaisussa käytetään tietokoneavusteista todistusta. Tämä on kiistanalaista, koska ihmislukija ei pysty tarkistamaan todistusta kohtuullisessa ajassa.
Jäljelle jäävät 16, 8 (Riemannin hypoteesi) ja 12 ratkaisematonta. Tässä luokittelussa 4, 16 ja 23 ovat liian epämääräisiä, jotta niitä voitaisiin koskaan pitää ratkaistuina. Myös peruutettu 24 kuuluisi tähän luokkaan. Lukua 6 pidetään pikemminkin fysiikan kuin matematiikan ongelmana.
Ongelmataulukko
Hilbertin kaksikymmentäkolme ongelmaa ovat:
| Ongelma | Lyhyt selitys | Tila | Vuosi Ratkaistu |
| 1. | Jatkuvuushypoteesi (eli ei ole olemassa joukkoa, jonka kardinaalisuus olisi tiukasti kokonaislukujen ja reaalilukujen kardinaalisuuden välillä). | Todistetaan, että sitä on mahdotonta todistaa tai kumota Zermelo-Fraenkelin joukko-opin puitteissa, joko valinnan aksiooman kanssa tai ilman sitä (edellyttäen, että Zermelo-Fraenkelin joukko-oppi, joko valinnan aksiooman kanssa tai ilman sitä, on johdonmukainen, eli se ei sisällä kahta sellaista teoreemaa, joista toinen on toisen negaatio). Ei ole yksimielisyyttä siitä, onko tämä ratkaisu ongelmaan. | 1963 |
| 2. | Osoita, että aritmeettiset aksioomat ovat johdonmukaisia. | Siitä, johtavatko Gödelin ja Gentzenin tulokset Hilbertin esittämän ongelman ratkaisuun, ei ole päästy yksimielisyyteen. Gödelin toinen epätäydellisyysteoreema, joka todistettiin vuonna 1931, osoittaa, että sen johdonmukaisuutta ei voida todistaa itse aritmetiikassa. Gentzenin johdonmukaisuustodistus (1936) osoittaa, että aritmetiikan johdonmukaisuus seuraa järjestysluvun ε0 perusteltavuudesta. | 1936? |
| Kolmas | Jos on kaksi tilavuudeltaan samanlaista polyedriä, onko aina mahdollista leikata ensimmäinen äärellisen moneksi polyedrin palaksi, jotka voidaan koota uudelleen ja saada aikaan toinen? | Ratkaistu. Tulos: ei, todistettu käyttämällä Dehnin invarianttia. | 1900 |
| Neljäs | Rakenna kaikki metriikat, joissa viivat ovat geodeettisia. | Liian epämääräistä, jotta voitaisiin todeta, onko asia ratkaistu vai ei. | - |
| 5. | Ovatko jatkuvat ryhmät automaattisesti differentiaalisia ryhmiä? | Ratkaisija: Andrew Gleason tai Hidehiko Yamabe, riippuen siitä, miten alkuperäistä lausuntoa tulkitaan. Jos se kuitenkin ymmärretään Hilbert-Smithin arvelun vastineeksi, se on edelleen ratkaisematta. | 1953? |
| 6. | Axiomatisoi koko fysiikka | Osittain ratkaistu. | - |
| Seitsemäs | Onko a btranssendentaalinen, kun algebrallinen a ≠ 0,1 ja irrationaalinen algebrallinen b ? | Ratkaistu. Tulos: kyllä, jota havainnollistaa Gelfondin lause tai Gelfond-Schneiderin lause. | 1934 |
| 8. | Riemannin hypoteesi ("Riemannin zeta-funktion minkä tahansa ei-triviaalin nollakohdan reaaliosa on ½") ja muut alkulukuongelmat, muun muassa Goldbachin arvelu ja kaksoispriman arvelu. | Ratkaisematon. | - |
| 9. | Löydä yleisin vastavuoroisuusteoremin laki missä tahansa algebrallisessa lukukentässä. | Osittain ratkaistu. | - |
| 10. | Etsi algoritmi, jolla määritetään, onko tietyllä polynomilla ja kokonaislukukertoimilla varustetulla diofanttisella yhtälöllä kokonaislukuratkaisu. | Ratkaistu. Tulos: mahdoton, Matiyasevichin lauseen mukaan tällaista algoritmia ei ole olemassa. | 1970 |
| 11. | Kvadraattisten muotojen ratkaiseminen algebrallisilla numeerisilla kertoimilla. | Osittain ratkaistu. [] | - |
| 12. | Laajenna Kronecker-Weberin lause rationaalilukujen abeliaanisista laajennuksista mihin tahansa peruslukukenttään. | Ratkaistaan osittain luokkakenttäteorian avulla, vaikkakaan ratkaisu ei ole yhtä selvä kuin Kronecker-Weberin teoreema. | - |
| 13. | 7. asteen yhtälöiden ratkaiseminen käyttäen kahden parametrin jatkuvia funktioita. | Ratkaisematon. Vladimir Arnold ratkaisi ongelman osittain Andrey Kolmogorovin työn pohjalta. | 1957 |
| 14. | Onko polynomirenkaaseen vaikuttavan algebrallisen ryhmän invarianttirengas aina äärellisen generoitunut? | Ratkaistu. Tulos: ei, Masayoshi Nagata rakensi vastaesimerkin. | 1959 |
| 15. | Schubertin laskennallisen laskennan tiukka perusta. | Osittain ratkaistu. [] | - |
| 16. | Kuvaile reaalialgebrallisesta käyrästä ja polynomivektorikentän raja-arvosykleistä peräisin olevien soikioiden suhteelliset sijainnit tasossa. | Ratkaisematon. | - |
| 17. | Määrätyn rationaalifunktion lauseke neliösummien osamääränä | Emil Artin ja Charles Delzell. Tulos: Tarvittavien neliötermien lukumäärälle asetettiin yläraja. Alemman rajan löytäminen on edelleen avoin ongelma. | 1927 |
| 18. | (a) Onko olemassa monitahokas monitahokas, joka sallii kolmessa ulottuvuudessa vain anisoedrisen laatoituksen? | (a) Päätettiin. Tulos: kyllä (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Ovatko Lagrangen ratkaisut aina analyyttisiä? | Ratkaistu. Tulos: Kyllä, Ennio de Giorgi ja John Forbes Nash todistivat sen itsenäisesti ja eri menetelmiä käyttäen. | 1957 |
| 20. | Ovatko kaikki variaatio-ongelmat, joilla on tietyt reunaehdot, ratkaistavissa? | Ratkaistu. Merkittävä tutkimusaihe koko 1900-luvun ajan, joka huipentui epälineaarisen tapauksen ratkaisuihin . [] | - |
| 21. | Todiste sellaisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden olemassaolosta, joilla on määrätty monodrominen ryhmä | Ratkaistu. Tulos: Kyllä tai ei, riippuen ongelman tarkemmista muotoiluista. . [] | - |
| 22. | Analyyttisten suhteiden yhtenäistäminen automorfisten funktioiden avulla | Ratkaistu. [] | - |
| 23. | Varianssilaskennan jatkokehitys | Ratkaisematon. | - |
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Kuka julkaisi vuonna 1900 luettelon 23 ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta?
V: David Hilbert julkaisi vuonna 1900 luettelon 23 ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta.
K: Oliko Hilbertin 24. ongelma osa alkuperäistä luetteloa?
V: Ei, Hilbertin 24. ongelma löytyi Hilbertin kirjoituksista hänen kuolemansa jälkeen.
K: Mistä Hilbertin 24. ongelma kertoo?
V: Hilbertin 24. ongelmassa on kyse kriteerien löytämisestä sen osoittamiseksi, että ongelman ratkaisu on yksinkertaisin mahdollinen.
Kysymys: Ratkaistiinko kaikki Hilbertin listan 23 ongelmaa vuoteen 2012 mennessä?
V: Ei, kolme Hilbertin listan 23 ongelmasta oli ratkaisematta vuonna 2012.
K: Oliko jokin Hilbertin listan ongelmista liian epämääräinen ratkaistavaksi?
V: Kyllä, kolme Hilbertin luettelon ongelmista oli liian epämääräisiä ratkaistaviksi.
K: Kuinka monta Hilbertin luettelossa olevista ongelmista voitiin osittain ratkaista?
V: Kuusi Hilbertin luettelossa olevista ongelmista voitiin osittain ratkaista.
K: Laatiiko Clay Mathematics Institute samanlaisen listan kuin Hilbertin ongelmat?
V: Kyllä, Clay Mathematics Institute loi samanlaisen luettelon nimeltä Millennium Prize Problems vuonna 2000.
