Eulerin kaava | kompleksilukuja ja trigonometrisia funktioita sisältävä yhtälö

Kompleksianalyysissä Eulerin kaava, jota joskus kutsutaan myös Eulerin suhteeksi, on yhtälö, joka sisältää kompleksilukuja ja trigonometrisia funktioita. Tarkemmin sanottuna se sanoo, että

e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

jossa x on reaaliluku, e on Eulerin luku ja i on imaginääriyksikkö.

Se muodostaa yhteyden trigonometristen funktioiden ja kompleksilukujen eksponenttifunktioiden välille. Se on nimetty Leonhard Eulerin mukaan, joka julkaisi sen vuonna 1748. Julkaistessaan sen Euler sanoi, että kulman on oltava reaaliluku. Myöhemmin kävi ilmi, että kaava toimii myös, jos kulma ei ole reaaliluku vaan kompleksiluku.

Kun kulma on π $\pi$ ja 2 π π 2\displaystyle \pi. $2\pi$ Eulerin kaavasta tulee e i π = - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} $e^{i\pi }=-1$ ja e i 2 π = 1 {\displaystyle e^{i2\pi }=1} $e^{i2\pi }=1$ vastaavasti.

Aiheeseen liittyvät sivut

Eulerin identiteetti

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Eulerin kaava?

A: Eulerin kaava on kompleksilukuja ja trigonometrisia funktioita sisältävä yhtälö, joka liittää kompleksilukujen eksponenttifunktiot trigonometrisiin funktioihin.

K: Kuka julkaisi Eulerin kaavan?

V: Leonhard Euler julkaisi Eulerin kaavan vuonna 1748.

K: Toimiiko kaava, kun kulma ei ole reaaliluku?

V: Kyllä, käy ilmi, että kaava toimii myös, jos kulma on kompleksiluku.

K: Mitä tapahtuu, kun kulma on pii?

V: Kun kulma on pi, Eulerin kaavasta tulee e^iנ = -1.

K: Mitä tapahtuu, kun kulma on 2pi?

V: Kun kulma on 2pi, Eulerin kaavasta tulee e^i2נ = 1.

K: Mitä "e" tarkoittaa tässä yhtälössä?

V: Tässä yhtälössä "e" tarkoittaa Eulerin lukua.

K: Mitä "i" tarkoittaa tässä yhtälössä?

V: Tässä yhtälössä "i" edustaa imaginääriyksikköä.