Eulerin identiteetti

Matemaattinen todistus Eulerin identiteetistä Taylor-sarjaa käyttäen

Monet yhtälöt voidaan kirjoittaa sarjana yhteenlaskettuja termejä. Tätä kutsutaan Taylorin sarjaksi

Eksponenttifunktio e x {\displaystyle e^{x}} voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana.

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Myös sini voidaan kirjoittaa seuraavasti

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ yli 3!}+{x^{5} \ yli 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}}

ja kosinus kuin

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ yli 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}}

Tässä näemme kuvion muotoutuvan. e x {\displaystyle e^{x}} näyttää olevan sinin ja kosinin Taylor-sarjojen summa, paitsi että kaikki merkit on muutettu positiivisiksi. Identiteetti, jonka oikeastaan todistamme, on e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Vasemmalla puolella on siis e i x {\displaystyle e^{ix}} , jonka Taylor-sarja on 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2}} \over 2!}-{ix^{3}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \ \over 5!} \cdots }

Tässä on nähtävissä kuvio, jonka mukaan joka toinen termi on i kertaa sinitermejä ja muut termit ovat kosinitermejä.

Oikealla puolella on cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , jonka Taylor-sarja on kosinin Taylor-sarja ja i kertaa sinin Taylor-sarja, joka voidaan esittää seuraavasti:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

Jos nämä lasketaan yhteen, saadaan

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \ \over 5!} \cdots }

Siksi:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Jos nyt korvaamme x:n arvolla π {\displaystyle \pi } , meillä on..

• e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Silloin tiedämme, että

• cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

ja

• sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Siksi:

• e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
• e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED