Eulerin identiteetti (e^{iπ}+1=0) — määritelmä, merkitys ja kauneus

Tutustu Eulerin identiteettiin e^{iπ}+1=0: selkeä määritelmä, syvällinen merkitys ja matematiikan kosmisen kauneuden tulkinnat — ymmärrä yhtälön ihme helposti.

Tekijä: Leandro Alegsa

17-12-2025 23:49

Eulerin identiteetti, jota joskus kutsutaan Eulerin yhtälöksi, on tämä yksinkertainen mutta syvällinen yhtälö:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

Yhtälö ja sen symbolit

π \displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Eulerin luku

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , imaginääriyksikkö

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Mistä identiteetti tulee — Eulerin kaava

Identiteetti seuraa suoraan Eulerin kaavasta, joka ilmaisee kompleksiexponentiaalin trigonometrisina funktioina:

e^{ix} = cos x + i sin x.

Asettamalla x = π saadaan e^{iπ} = cos π + i sin π = −1 + i·0 = −1, josta seuraa e^{iπ} + 1 = 0. Tämä on lyhyt ja yleisesti käytetty johdanto; syvällisempiä perusteluja voi antaa sarjakehityksin tai differentiaaliyhtälöiden avulla.

Lyhyt derivaatio sarjakehityksin

Tarkempi sarjakehitysperusteinen johdanto perustuu seuraaviin Taylorin sarjoihin (keskiarvo 0):

e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n / n!
cos x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n} / (2n)!
sin x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!

Kun korvaamme x:llä ix sarjassa e^{x}, erottuvat reaalinen ja imaginaarinen osa täsmälleen cos x:n ja sin x:n sarjoiksi. Näin saadaan Eulerin kaava ja edelleen Eulerin identiteetti edellä kuvaillulla tavalla.

Geometrinen tulkinta

Kompleksitasossa luku e^{iθ} vastaa yksikköympyrällä tapahtuvaa rotaatiota origon ympäri kulman θ verran (radianeina). e^{iπ} tarkoittaa rotaatiota π radiaania, eli puoli kierrosta — se vie luvun 1 pisteeseen −1. Tämä intuitio selittää, miksi e^{iπ} = −1.

Merkitys ja sovellukset

Eulerin identiteetti yhdistää viisi keskeistä matemaattista vakioarvoa: e, i, π, 1 ja 0. Sen kauneus tulee juuri tästä odottamattomasta, yksinkertaisesta yhteydestä eri osa-alueiden välillä (analyysi, geometria, algebra ja kompleksiluvut). Identiteetti on enemmän kuin kuriositeetti — Eulerin kaavaa ja sen seurauksia käytetään laajasti muun muassa:

kompleksianalyysissa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmissä,
signaalinkäsittelyssä ja Fourier-analyysissä, jossa e^{iωt}-muotoiset termit kuvaavat taajuuksia,
fysiikassa, erityisesti kvanttimekaniikassa ja värähtelyteoriassa,
lukuteoriassa ja polynomien nollakohtien tutkimuksessa (esim. yksikköjuuret).

Historiallista taustaa

Eulerin identiteetti on nimetty sveitsiläisen matemaatikon Leonard Eulerin mukaan. Euler johdatti Eulerin kaavan systemaattisesti 1700-luvun puolivälissä; se esiintyy esimerkiksi teoksessa Introductio in analysin infinitorum (1748). On myös huomattava, että matemaattisia ideoita kehittyi usein useiden tutkijoiden työn tuloksena, joten ei ole täysin yksiselitteistä sanoa, että Euler "keksi" kaiken yksin.

Kauneus ja kulttuurinen vaikutus

Physics Worldin kyselyyn vastanneet kutsuivat identiteettiä "syvällisimmäksi matemaattiseksi lausumaksi, joka on koskaan kirjoitettu", "uskomattomaksi ja yleväksi", "täynnä kosmista kauneutta" ja "tajunnanräjäyttäväksi". Monet matemaatikot ja tiedettä seuraavat pitävät Eulerin identiteettiä esimerkkinä matematiikan kielellisestä eleganssista: yksinkertainen muoto sisältää syvää yhteyttä monien peruskäsitteiden välillä.

Matemaattinen todistus Eulerin identiteetistä Taylor-sarjaa käyttäen

Monet yhtälöt voidaan kirjoittaa sarjana yhteenlaskettuja termejä. Tätä kutsutaan Taylorin sarjaksi

Eksponenttifunktio e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana.

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Myös sini voidaan kirjoittaa seuraavasti

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ yli 3!}+{x^{5} \ yli 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

ja kosinus kuin

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ yli 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Tässä näemme kuvion muotoutuvan. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ näyttää olevan sinin ja kosinin Taylor-sarjojen summa, paitsi että kaikki merkit on muutettu positiivisiksi. Identiteetti, jonka oikeastaan todistamme, on e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Vasemmalla puolella on siis e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , jonka Taylor-sarja on 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2}} \over 2!}-{ix^{3}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \ \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Tässä on nähtävissä kuvio, jonka mukaan joka toinen termi on i kertaa sinitermejä ja muut termit ovat kosinitermejä.

Oikealla puolella on cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , jonka Taylor-sarja on kosinin Taylor-sarja ja i kertaa sinin Taylor-sarja, joka voidaan esittää seuraavasti:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

Jos nämä lasketaan yhteen, saadaan

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \ \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Siksi:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Jos nyt korvaamme x:n arvolla π {\displaystyle \pi } $\pi$ , meillä on..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Silloin tiedämme, että

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Siksi:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Eulerin identiteetti?

V: Eulerin identiteetti, jota joskus kutsutaan Eulerin yhtälöksi, on yhtälö, jossa on matemaattiset vakiot pi, Eulerin luku ja imaginääriyksikkö sekä kolme matemaattista perusoperaatiota (yhteenlasku, kertolasku ja potensointi). Yhtälö on e^(i*pi) + 1 = 0.

Kysymys: Kuka oli Leonard Euler?

V: Leonard Euler oli sveitsiläinen matemaatikko, jonka mukaan identiteetti on nimetty. Ei ole selvää, keksiikö hän sen itse.

K: Mitä reaktioita Eulerin identiteettiin on esitetty?

V: Physics Worldin kyselyyn vastanneet kutsuivat identiteettiä "syvällisimmäksi matemaattiseksi lausumaksi, joka on koskaan kirjoitettu", "oudoksi ja yleväksi", "täynnä kosmista kauneutta" ja "tajunnanräjäyttäväksi".

Kysymys: Mitä vakioita tässä yhtälössä esiintyy?

V: Tässä yhtälössä esiintyvät vakiot ovat pii (noin 3,14159), Eulerin luku (noin 2,71828) ja imaginaarinen yksikkö (-1).

K: Mitä operaatioita tässä yhtälössä esiintyy?

V: Tässä yhtälössä esiintyvät operaatiot ovat yhteenlasku, kertolasku ja potensointi.

K: Miten voimme ilmaista pi matemaattisesti?

V: Pi voidaan ilmaista matemaattisesti muodossa π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159}.

K: Miten voimme ilmaista Eulerin luvun matemaattisesti? V: Eulerin luku voidaan ilmaista matemaattisesti muodossa e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.

Etsiä