Taylorin sarja – määritelmä, kaavat ja sovellukset

Muinaiskreikkalainen filosofi Zenon Elealainen keksi ensimmäisenä tämän sarjan idean. Tuloksena syntyi paradoksi nimeltä "Zenon parodoksinen". Hän uskoi, että olisi mahdotonta laskea yhteen ääretön määrä arvoja ja saada tulokseksi yksi äärellinen arvo.

Toinen kreikkalainen filosofi, Aristoteles, keksi vastauksen filosofiseen kysymykseen. Arkhimedes keksi kuitenkin matemaattisen ratkaisun käyttämällä uupumismenetelmäänsä. Hän pystyi osoittamaan, että kun jokin asia jaetaan äärettömään määrään pieniä palasia, ne muodostavat silti yhden kokonaisuuden, kun ne kaikki lasketaan yhteen. Muinainen kiinalainen matemaatikko Liu Hui todisti saman asian useita satoja vuosia myöhemmin.

Varhaisimmat tunnetut esimerkit Taylor-sarjasta ovat Sañgamāgraman Mādhavan töitä Intiassa 1300-luvulla. Myöhemmät intialaiset matemaatikot kirjoittivat hänen työstään trigonometristen funktioiden sini, kosini, tangentti ja arktangentti parissa. Mitään Mādhavan kirjoituksista tai tallenteista ei ole enää nykyään olemassa. Muut matemaatikot perustivat työnsä Mādhavan löytöihin ja työskentelivät enemmän näiden sarjojen parissa 1500-luvulle asti.

Skotlantilainen matemaatikko James Gregory työskenteli tällä alalla 1600-luvulla. Gregory tutki Taylorin sarjoja ja julkaisi useita Maclaurin-sarjoja. Vuonna 1715 Brook Taylor löysi yleisen menetelmän sarjan soveltamiseksi kaikkiin funktioihin. (Kaikki aiemmat tutkimukset osoittivat, miten menetelmää voitiin soveltaa vain tiettyihin funktioihin). Colin Maclaurin julkaisi 1700-luvulla Taylorin sarjan erikoistapauksen. Tätä nollan ympärille perustuvaa sarjaa kutsutaan Maclaurinin-sarjaksi.

Taylor-sarjaa voidaan käyttää kuvaamaan mitä tahansa funktiota ƒ(x), joka on sileä funktio (tai matemaattisesti ilmaistuna "äärettömän differentioituva"). Funktio ƒ voi olla joko reaalinen tai kompleksinen. Taylorin sarjaa käytetään sitten kuvaamaan, miltä funktio näyttää jonkin luvun a lähialueella.

Tämä Taylorin sarja, joka on kirjoitettu potenssisarjaksi, näyttää seuraavalta:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Tämä kaava voidaan kirjoittaa myös sigma-merkinnällä seuraavasti:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Tässä n! on n:n faktoriaaliluku. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) on ƒ:n n:s derivaatta pisteessä a. a {\displaystyle a} on luku funktion toimialueella. Jos funktion Taylor-sarja on yhtä suuri kuin kyseinen funktio, kutsutaan funktiota "analyyttiseksi funktioksi".

Maclaurin-sarja

Kun a = 0 {\displaystyle a=0} funktiota kutsutaan Maclaurin-sarjaksi. Potenssisarjana kirjoitettu Maclaurin-sarja näyttää seuraavalta:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Kun se kirjoitetaan sigma-merkintätavalla, Maclaurin-sarja on:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Joitakin tärkeitä Taylorin sarjoja ja Maclaurinin sarjoja ovat seuraavat.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ kaikille x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}- \cdots {\text{ kaikille }x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ kaikille x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}- \cdots {\text{ for all }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 kaikille x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n kaikille x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ kaikille}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ kaikille x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+ \cdots {\teksti{ kaikille }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n kaikille | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Jossa B n {\displaystyle B_{n}} on n:nnen Bernoullin luku ja ln {\displaystyle \ln } on luonnollinen logaritmi.