Hyperbolinen geometria: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Euklidisen geometrian yhdensuuntaisuuspostulaatti sanoo, että kaksiulotteisessa avaruudessa mille tahansa suoralle l ja pisteelle P, joka ei ole l:llä, on olemassa täsmälleen yksi suoraviiva P:n kautta, joka ei leikkaa l:tä. Tätä suoraa kutsutaan yhdensuuntaiseksi l:n kanssa. Hyperbolisessa geometriassa on vähintään kaksi tällaista suoraa P:n kautta. Euklidiseen geometriaan on rakennettu malleja, jotka noudattavat hyperbolisen geometrian aksioomia. Nämä mallit todistavat, että yhdensuuntaisuuspostulaatti on riippumaton muista Eukleideen postulaateista.

Koska euklidisille yhdensuuntaisille viivoille ei ole olemassa hyperbolista analogiaa, yhdensuuntaisten ja niihin liittyvien termien hyperbolinen käyttö vaihtelee eri kirjoittajien välillä. Tässä artikkelissa kahta rajaviivaa kutsutaan asymptoottisiksi ja viivoja, joilla on yhteinen kohtisuoruus, ultraparalleeleiksi; yksinkertaista sanaa rinnakkainen voidaan käyttää molempiin.

Hyperbolisen geometrian mielenkiintoinen ominaisuus seuraa siitä, että pisteen P kautta kulkee useampi kuin yksi yhdensuuntainen viiva: on olemassa kaksi luokkaa leikkaamattomia viivoja. Olkoon B sellainen piste piste l:ssä, että suora PB on kohtisuorassa l:n kanssa. Tarkastellaan sellaista P:n kautta kulkevaa suoraa x, että x ei leikkaa l:ää ja että PB:n ja x:n välinen kulma θ vastapäivään PB:stä on mahdollisimman pieni; eli mikä tahansa pienempi kulma pakottaa suoran leikkaamaan l:n. Tätä kutsutaan hyperbolisen geometrian asymptoottiseksi suoraksi. Symmetrisesti myös suora y, joka muodostaa saman kulman θ PB:n ja itsensä välille mutta myötäpäivään PB:stä, on asymptoottinen. x ja y ovat ainoat kaksi P:n kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat asymptoottisia l:n kanssa. Kaikkia muita P:n kautta kulkevia suoria, jotka eivät leikkaa l:ää ja joiden kulmat PB:n kanssa ovat suuremmat kuin θ, kutsutaan ultraparalleeleiksi (tai epäsymmetrisesti samansuuntaisiksi) l:n kanssa. Huomaa, että koska on ääretön määrä mahdollisia kulmia θ:n ja 90 asteen välillä, ja jokainen niistä määrittää kaksi P:n kautta kulkevaa ja l:n kanssa disjointin samansuuntaista suoraa, on ääretön määrä ultraparalleelisia suoria.

Näin ollen meillä on tämä rinnakkaispostulaatin muunnettu muoto: P:n kautta kulkee täsmälleen kaksi suoraa, jotka ovat asymptoottisia l:n kanssa, ja äärettömän monta suoraa, jotka kulkevat P:n kautta ja ovat ultraparalleelisia l:n kanssa: hyperbolisessa geometriassa, kun kyseessä on mikä tahansa suora l ja piste P, joka ei ole l:n päällä.

Tämäntyyppisten viivojen välisiä eroja voidaan tarkastella myös seuraavalla tavalla: asymptoottisten viivojen välinen etäisyys juoksee nollaan toisessa suunnassa ja kasvaa rajattomasti toisessa suunnassa; ultraparalleelisten viivojen välinen etäisyys kasvaa molempiin suuntiin. Ultraparalleeliteorian mukaan hyperbolisessa tasossa on yksi ainoa suora, joka on kohtisuorassa kumpaakin annettua ultraparalleeliparia vastaan.

Euklidisessa geometriassa yhdensuuntaisuuskulma on vakio, eli mikä tahansa yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys ‖ B P ‖ ‖ ‖ BP\rVert } tuottaa yhdensuuntaisuuskulman, joka on 90°. Hyperbolisessa geometriassa yhdensuuntaisuuskulma vaihtelee Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} funktiona. Tämä Nikolai Ivanovitš Lobatševskin kuvaama funktio tuottaa ainutlaatuisen yhdensuuntaisuuskulman jokaiselle etäisyydelle p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Etäisyyden lyhentyessä Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} lähestyy 90°, kun taas etäisyyden kasvaessa Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} lähestyy 0°. Näin ollen etäisyyksien pienentyessä hyperbolinen taso käyttäytyy yhä enemmän kuin euklidinen geometria. Pienillä asteikoilla verrattuna 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} missä K {\displaystyle K\!} on tason (vakio)gaussinen kaarevuus, havainnoitsijan olisi vaikea määrittää, onko hän euklidisessa vai hyperbolisessa tasossa.

Geometrit yrittivät vuosisatojen ajan todistaa yhdensuuntaisuuspostulaatin. He epäonnistuivat, mutta heidän ponnistelunsa synnyttivät hyperbolisen geometrian. Alhacenin ja Khayyamin nelikulmioita koskevat lauseet olivat ensimmäiset hyperbolisen geometrian lauseet. Heidän hyperbolista geometriaa koskevat työnsä vaikuttivat sen kehitykseen myöhempien eurooppalaisten geometrojen, kuten Witelon, Alfonson ja John Wallisin, keskuudessa.

1800-luvulla hyperbolista geometriaa tutkivat János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski, joiden mukaan se on joskus nimetty. Lobatševski julkaisi sen vuonna 1830, kun taas Bolyai löysi sen itsenäisesti ja julkaisi sen vuonna 1832. Myös Karl Friedrich Gauss tutki hyperbolista geometriaa ja kuvaili Taurinukselle vuonna 1824 lähettämässään kirjeessä, että hän oli rakentanut sen, mutta ei julkaissut työtään. Vuonna 1868 Eugenio Beltrami toimitti siitä malleja ja osoitti niiden avulla, että hyperbolinen geometria oli yhdenmukainen, jos euklidinen geometria oli.

Termin "hyperbolinen geometria" otti käyttöön Felix Klein vuonna 1871. Lisää historiaa, katso artikkeli ei-euklidisesta geometriasta.

Hyperboliseen geometriaan käytetään yleisesti kolmea mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli ja Lorentzin malli eli hyperboloidimalli. Nämä mallit määrittelevät todellisen hyperbolisen avaruuden, joka täyttää hyperbolisen geometrian aksioomat. Nimityksistä huolimatta kaksi kiekkomallia ja puolitasomallia esitteli hyperbolisen avaruuden malleina Beltrami, ei Poincaré tai Klein.

1. Kleinin mallissa, joka tunnetaan myös nimillä projektivinen kiekkomalli ja Beltrami-Klein-malli, hyperbolinen taso on ympyrän sisäpuolella ja ympyrän sointuja käytetään viivoina.
2. Poincarén puolitasomallissa hyperboliseksi tasoksi katsotaan puolet euklidisesta tasosta, jonka määrittää euklidinen viiva B (itse B ei ole mukana).
• Hyperboliset suorat ovat tällöin joko B:hen kohtisuorassa olevia puoliympyröitä tai B:hen kohtisuorassa olevia säteitä.
• Molemmat Poincaré-mallit säilyttävät hyperboliset kulmat ja ovat siten konformisia. Kaikki isometriat näissä malleissa ovat siis Möbius-muunnoksia.
• Puolitasomalli on identtinen (rajalla) Poincarén kiekkomallin kanssa kiekon reunalla.
• Tätä mallia sovelletaan suoraan erityiseen suhteellisuusteoriaan, sillä Minkowskin 3-avaruus on avaruusajan malli, jossa yksi avaruusulottuvuus on poistettu. Hyperboloidin voidaan katsoa kuvaavan tapahtumia, jotka eri liikkuvat havaitsijat, jotka säteilevät yhdestä pisteestä ulospäin avaruudellisessa tasossa, saavuttavat kiinteässä ajassa. Hyperboloidin kahden pisteen välinen hyperbolinen etäisyys voidaan tällöin samaistaa kahden vastaavan havaitsijan väliseen suhteelliseen nopeuteen.

M. C. Escherin kuuluisat grafiikat Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine ja Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine havainnollistavat melko hyvin konformista kiekkomallia. Molemmissa voidaan nähdä geodeettiset radat. (III:ssa valkoiset viivat eivät ole geodeettisia, vaan hyperpyörät, jotka kulkevat niiden rinnalla). Myös hyperbolisen tason negatiivinen kaarevuus on varsin selvästi nähtävissä sen vaikutuksesta kolmioiden ja neliöiden kulmien summaan.

Eukleideen tasossa niiden kulmien summa olisi 450° eli ympyrä ja neljännes. Tästä nähdään, että hyperbolisen tason kolmion kulmien summan on oltava pienempi kuin 180°. Toinen näkyvä ominaisuus on eksponentiaalinen kasvu. Esimerkiksi Circle Limit IV:ssä nähdään, että enkelien ja demonien määrä Arkistoitu 2009-03-18 Wayback Machineen n:n etäisyydellä keskipisteestä kasvaa eksponentiaalisesti. Demoneilla on yhtä suuri hyperbolinen pinta-ala, joten säteen n omaavan pallon pinta-alan on kasvettava eksponentiaalisesti n:ssä.

Hyperbolinen taso (tai sen approksimaatio) voidaan toteuttaa fysikaalisesti usealla eri tavalla. Erityisen tunnettu pseudosfääriin perustuva paperimalli on William Thurstonin ansiota. Hyperbolisia tasoja on voitu havainnollistaa virkkaamalla, ja ensimmäisen hyperbolisen tason teki Daina Taimina. Vuonna 2000 Keith Henderson esitteli nopeasti valmistettavan paperimallin, jota kutsuttiin "hyperboliseksi jalkapalloksi".

• Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto.
• Nikolai I. Lobatševski, Pangeometria, kääntäjä ja toimittaja: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolinen geometria: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, AMS/LMS-sarjan History of Mathematics nide 10.
• Samuels, David. (Maaliskuu 2006) Knit Theory Discover Magazine, osa 27, numero 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9.