Hyperbolinen geometria: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit
Hyperbolinen geometria: selkeä määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja havainnolliset esimerkit — ei‑euklidinen tasogeometria, kolmioiden behaviori, luonto ja verkot.
Matematiikassa hyperbolinen geometria on ei-euklidinen geometria, mikä tarkoittaa, että euklidisen geometrian määrittelevä yhdensuuntaisuuspostulaatti ei pidä paikkaansa. Hyperbolisessa tasossa voi pisteen kautta, joka ei kuulu annettuun suoraan, kulkea enemmän kuin yksi suora, joka ei leikkaa annettua suoraa — itse asiassa äärettömän monta. Tämän seurauksena suorat ja kulmat käyttäytyvät eri tavalla kuin tavallisessa tasogeometriassa.
Määritelmä ja keskeiset ominaisuudet
Lyhyesti: hyperbolinen taso on tasaiseen negatiiviseen Gaussin kaarevuuteen perustuva geometrian malli. Tärkeimpiä ominaisuuksia:
- Useita "yhdensuuntaisia": läpikulkevan pisteen kautta annettuun suoraan ei kulje ainoastaan yhtä yhdensuuntaista suoraa, vaan äärettömän monta. Näitä voidaan luokitella esimerkiksi rajoittuviksi (limiting parallels) ja ultraparalleleiksi.
- Kolmion kulmien summa on aina alle 180 astetta. Kulmien vaje (180° − kulmien summa) korreloi kolmion pinta-alan kanssa: suurempi pinta-ala tarkoittaa suurempaa vajea.
- Negatiivinen kaarevuus: hyperbolisen tason Gaussin kaarevuus on vakio ja negatiivinen (usein normalisoidaan arvoon −1). Tämä määrää etäisyyksien ja kulmien käyttäytymisen.
- Ei suoraa skaalaussimenaisuutta: toisin kuin euklidisessa geometriassa, hyperbolisessa geometriassa ei ole (ei-triviaalisia) homotetioita, jotka säilyttäisivät muodon mutta muuttavat kokoja siten, että etäisyys-suhteet muuttuvat lineaarisesti.
- Rajapisteet ja äärettömyys: hyperbolisella tasolla on usein hyödyllistä ajatella "äärettömyyden reuna" (ideal boundary), jossa jotkin geodesicit kohtaavat rajapisteinä.
Mallit, joilla hyperbolista geometriaa esitellään
Hyperbolista geometriaa tutkitaan useilla toisiaan vastaavilla malleilla, jotka kuitenkin esittävät etäisyydet ja geodesicit eri tavoilla. Tunnetuimpia malleja ovat:
- Poincarén kiekko (disk) -malli: hyperbolinen taso kuvataan avoimena kiekona, ja geodesicit ovat joko kiekon halkaisijoita tai kaaria, jotka leikkaavat kiekon reunakaarta kohtisuorasti. Malli on konforminen eli kulmat säilyvät.
- Poincarén puolitaso -malli: ylempi puoli kompleksitasosta, jossa geodesicit ovat pystysuoria suoria ja kaaria, jotka leikkaavat reaaliakselin kohtisuorasti.
- Kleinin malli: myös kiekko, mutta geodesicit ovat suoria euklidisia viivoja; malli ei ole konforminen (kulmat eivät säily).\
- Hyperboloidimalli: hyperbolinen taso esitetään kahdenlehtisen hyperboloidin yhteen lehdelle projektioituna; tästä mallista on suora yhteys Lorentz-metriikkaan ja suhteellisuusteoriaan.
Kolmiot, pinta-ala ja kaavat
Hyperbolisessa geometriassa kolmion pinta-ala liittyy suoraan kulmien vajeeseen. Jos kaarevuus normalisoidaan arvoon −1 ja kulmat mitataan radiaaneina, kolmion pinta-ala A voidaan laskea kaavalla
A = π − (α + β + γ) (radiaaneina).
Tässä näkyy selkeä ero euklidiseen geometriaan: euklidisessa kolmion kulmien summa on aina π radiaania (180°), jolloin pinta-alaan ei voi johtaa pelkästä kulmasummasta. Hyperbolisessa suurempi kolmion pinta-ala tarkoittaa pienempää kulmasummaa.
Paralleelisuuden lajit
Hyperbolisessa geometriassa voidaan erottaa ainakin kaksi tyyppiä suoria, jotka eivät leikkaa:
- Rajoittuvat (limiting) pariaalit: suorat, jotka lähestyvät toisiaan äärettömyydessä (niillä on yhteinen 'ideal point' reunassa) mutta eivät leikkaa tasolla.
- Ultraparalleelit: suorat, joilla ei ole yhteistä ideal pointia; niillä on kuitenkin yksikäsitteinen yhteinen kohtisuora etäisyys (yksi yhteinen perpendikulaarinen välinen etäisyys).
Esimerkkejä luonnossa ja sovelluksissa
Monet luonnossa ja käsityöissä esiintyvät muodot muistuttavat hyperbolista pintaa. Esimerkkejä:
- Korallit ja jotkin salaatit muodostavat toistuvan, "rapsakoituneen" reunan, joka muistuttaa hyperbolista tasoa.
- Käsityöperinne: hyperbolisia pintoja voi mallintaa virkaten; Daina Taimina teki tunnetuksi virkattujen hyperbolisten tasojen käytön opetuksessa ja esityksissä.
- Pseudosfäärit ja traktioidit (esim. pseudosphere) ovat pinnallisia esityksiä, joilla on paikallisesti negatiivinen kaarevuus.
- Verkon visualisointi: jotkut esittävät, että internetin tai laajojen verkostojen piirtäminen helpottuu hyperbolisissa esityksissä, koska reunojen "kasvamiselle" on luonnollinen tila, ja keskeiset solmukohdat jäävät hallittuihin etäisyyksiin.
- Fysiikassa on ehdotuksia ja malleja, joiden mukaan maailmankaikkeutemme voi paikallisesti tai globaalisti olla hieman hyperbolinen, eli sillä olisi negatiivinen kosmologinen kaarevuus — tämä liittyy kosmologiseen havainnointiin ja mittauksiin.
Historia ja merkitys
Hyperbolisen geometrian kehitys 1800-luvulla oli keskeinen askel matematiikan historiassa: kolmella matemaatikolla — Carl Friedrich Gaussin, János Bolyain ja Nikolai Lobatsevski (Lobachevsky) — oli tärkeä rooli sen syntyssä. Gauss pohti aihetta, mutta julkaisi vähän; Bolyai ja Lobachevsky esittivät itsenäisesti täydellisiä ei-euklidisia järjestelmiä, mikä osoitti, että euklidinen yhdensuuntaisuuspostulaatti ei ole itsestäänselvä ja että vaihtoehtoinen, johdonmukainen geometria on olemassa.
Sovellukset matematiikassa ja tieteenaloilla
- Kompleksianalyysi ja automorfiset funktiot käyttävät Poincarén malleja erityisesti modulitilojen ja diskreettisten ryhmien tutkimuksessa.
- Suhteellisuusteoria: hyperboloidimalli liittyy Lorentz-metriikkaan ja auttaa ymmärtämään ajoajan ja avaruuden geometrista rakennetta eri koordinaatistoissa.
- Tietorakenteet ja tietoverkkojen visualisointi: hyperbolinen geometria antaa vaihtoehdon etäisyyksien ja hierarkioiden mallintamiseen, kun puhutaan laajenevista verkoista.
- Opetus: hyperboliset mallit ja virkattu mallit auttavat havainnollistamaan kaarevuutta ja ei-euklidista ajattelua.
Yhteenveto
Hyperbolinen geometria tarjoaa vaihtoehtoisen, johdonmukaisen tavan ajatella etäisyyksiä, suoria ja kulmia, jossa euklidinen yhdensuuntaisuuspostulaatti ei päde. Se on matemaattisesti rikas ala, jolla on sekä teoreettista merkitystä että käytännön esityksiä luonnossa, käsityössä ja tieteellisissä sovelluksissa.
Hyperbolinen kolmio
Muodollinen määritelmä
Euklidisen geometrian yhdensuuntaisuuspostulaatti sanoo, että kaksiulotteisessa avaruudessa mille tahansa suoralle l ja pisteelle P, joka ei ole l:llä, on olemassa täsmälleen yksi suoraviiva P:n kautta, joka ei leikkaa l:tä. Tätä suoraa kutsutaan yhdensuuntaiseksi l:n kanssa. Hyperbolisessa geometriassa on vähintään kaksi tällaista suoraa P:n kautta. Euklidiseen geometriaan on rakennettu malleja, jotka noudattavat hyperbolisen geometrian aksioomia. Nämä mallit todistavat, että yhdensuuntaisuuspostulaatti on riippumaton muista Eukleideen postulaateista.
Koska euklidisille yhdensuuntaisille viivoille ei ole olemassa hyperbolista analogiaa, yhdensuuntaisten ja niihin liittyvien termien hyperbolinen käyttö vaihtelee eri kirjoittajien välillä. Tässä artikkelissa kahta rajaviivaa kutsutaan asymptoottisiksi ja viivoja, joilla on yhteinen kohtisuoruus, ultraparalleeleiksi; yksinkertaista sanaa rinnakkainen voidaan käyttää molempiin.
Tietyn pisteen P kautta kulkevat suorat, jotka ovat asymptoottisia suoralle l.
Ei-risteävät viivat
Hyperbolisen geometrian mielenkiintoinen ominaisuus seuraa siitä, että pisteen P kautta kulkee useampi kuin yksi yhdensuuntainen viiva: on olemassa kaksi luokkaa leikkaamattomia viivoja. Olkoon B sellainen piste piste l:ssä, että suora PB on kohtisuorassa l:n kanssa. Tarkastellaan sellaista P:n kautta kulkevaa suoraa x, että x ei leikkaa l:ää ja että PB:n ja x:n välinen kulma θ vastapäivään PB:stä on mahdollisimman pieni; eli mikä tahansa pienempi kulma pakottaa suoran leikkaamaan l:n. Tätä kutsutaan hyperbolisen geometrian asymptoottiseksi suoraksi. Symmetrisesti myös suora y, joka muodostaa saman kulman θ PB:n ja itsensä välille mutta myötäpäivään PB:stä, on asymptoottinen. x ja y ovat ainoat kaksi P:n kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat asymptoottisia l:n kanssa. Kaikkia muita P:n kautta kulkevia suoria, jotka eivät leikkaa l:ää ja joiden kulmat PB:n kanssa ovat suuremmat kuin θ, kutsutaan ultraparalleeleiksi (tai epäsymmetrisesti samansuuntaisiksi) l:n kanssa. Huomaa, että koska on ääretön määrä mahdollisia kulmia θ:n ja 90 asteen välillä, ja jokainen niistä määrittää kaksi P:n kautta kulkevaa ja l:n kanssa disjointin samansuuntaista suoraa, on ääretön määrä ultraparalleelisia suoria.
Näin ollen meillä on tämä rinnakkaispostulaatin muunnettu muoto: P:n kautta kulkee täsmälleen kaksi suoraa, jotka ovat asymptoottisia l:n kanssa, ja äärettömän monta suoraa, jotka kulkevat P:n kautta ja ovat ultraparalleelisia l:n kanssa: hyperbolisessa geometriassa, kun kyseessä on mikä tahansa suora l ja piste P, joka ei ole l:n päällä.
Tämäntyyppisten viivojen välisiä eroja voidaan tarkastella myös seuraavalla tavalla: asymptoottisten viivojen välinen etäisyys juoksee nollaan toisessa suunnassa ja kasvaa rajattomasti toisessa suunnassa; ultraparalleelisten viivojen välinen etäisyys kasvaa molempiin suuntiin. Ultraparalleeliteorian mukaan hyperbolisessa tasossa on yksi ainoa suora, joka on kohtisuorassa kumpaakin annettua ultraparalleeliparia vastaan.
Euklidisessa geometriassa yhdensuuntaisuuskulma on vakio, eli mikä tahansa yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys ‖ 
‖ ‖ BP\rVert } tuottaa yhdensuuntaisuuskulman, joka on 90°. Hyperbolisessa geometriassa yhdensuuntaisuuskulma vaihtelee 
funktiona. Tämä Nikolai Ivanovitš Lobatševskin kuvaama funktio tuottaa ainutlaatuisen yhdensuuntaisuuskulman jokaiselle etäisyydelle 
. Etäisyyden lyhentyessä lähestyy 90°, kun taas etäisyyden kasvaessa lähestyy 0°. Näin ollen etäisyyksien pienentyessä hyperbolinen taso käyttäytyy yhä enemmän kuin euklidinen geometria. Pienillä asteikoilla verrattuna 
missä 
on tason (vakio)gaussinen kaarevuus, havainnoitsijan olisi vaikea määrittää, onko hän euklidisessa vai hyperbolisessa tasossa.
Historia
Geometrit yrittivät vuosisatojen ajan todistaa yhdensuuntaisuuspostulaatin. He epäonnistuivat, mutta heidän ponnistelunsa synnyttivät hyperbolisen geometrian. Alhacenin ja Khayyamin nelikulmioita koskevat lauseet olivat ensimmäiset hyperbolisen geometrian lauseet. Heidän hyperbolista geometriaa koskevat työnsä vaikuttivat sen kehitykseen myöhempien eurooppalaisten geometrojen, kuten Witelon, Alfonson ja John Wallisin, keskuudessa.
1800-luvulla hyperbolista geometriaa tutkivat János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski, joiden mukaan se on joskus nimetty. Lobatševski julkaisi sen vuonna 1830, kun taas Bolyai löysi sen itsenäisesti ja julkaisi sen vuonna 1832. Myös Karl Friedrich Gauss tutki hyperbolista geometriaa ja kuvaili Taurinukselle vuonna 1824 lähettämässään kirjeessä, että hän oli rakentanut sen, mutta ei julkaissut työtään. Vuonna 1868 Eugenio Beltrami toimitti siitä malleja ja osoitti niiden avulla, että hyperbolinen geometria oli yhdenmukainen, jos euklidinen geometria oli.
Termin "hyperbolinen geometria" otti käyttöön Felix Klein vuonna 1871. Lisää historiaa, katso artikkeli ei-euklidisesta geometriasta.
Hyperbolisen tason mallit
Hyperboliseen geometriaan käytetään yleisesti kolmea mallia: Kleinin malli, Poincarén kiekkomalli ja Lorentzin malli eli hyperboloidimalli. Nämä mallit määrittelevät todellisen hyperbolisen avaruuden, joka täyttää hyperbolisen geometrian aksioomat. Nimityksistä huolimatta kaksi kiekkomallia ja puolitasomallia esitteli hyperbolisen avaruuden malleina Beltrami, ei Poincaré tai Klein.
- Kleinin mallissa, joka tunnetaan myös nimillä projektivinen kiekkomalli ja Beltrami-Klein-malli, hyperbolinen taso on ympyrän sisäpuolella ja ympyrän sointuja käytetään viivoina.
- Poincarén puolitasomallissa hyperboliseksi tasoksi katsotaan puolet euklidisesta tasosta, jonka määrittää euklidinen viiva B (itse B ei ole mukana).
- Hyperboliset suorat ovat tällöin joko B:hen kohtisuorassa olevia puoliympyröitä tai B:hen kohtisuorassa olevia säteitä.
- Molemmat Poincaré-mallit säilyttävät hyperboliset kulmat ja ovat siten konformisia. Kaikki isometriat näissä malleissa ovat siis Möbius-muunnoksia.
- Puolitasomalli on identtinen (rajalla) Poincarén kiekkomallin kanssa kiekon reunalla.
- Tätä mallia sovelletaan suoraan erityiseen suhteellisuusteoriaan, sillä Minkowskin 3-avaruus on avaruusajan malli, jossa yksi avaruusulottuvuus on poistettu. Hyperboloidin voidaan katsoa kuvaavan tapahtumia, jotka eri liikkuvat havaitsijat, jotka säteilevät yhdestä pisteestä ulospäin avaruudellisessa tasossa, saavuttavat kiinteässä ajassa. Hyperboloidin kahden pisteen välinen hyperbolinen etäisyys voidaan tällöin samaistaa kahden vastaavan havaitsijan väliseen suhteelliseen nopeuteen.
Poincaré-kiekkomalli suuresta rombitrunkoisesta {3,7} laatoituksesta
Hyperbolisen geometrian visualisointi
M. C. Escherin kuuluisat grafiikat Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine ja Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine havainnollistavat melko hyvin konformista kiekkomallia. Molemmissa voidaan nähdä geodeettiset radat. (III:ssa valkoiset viivat eivät ole geodeettisia, vaan hyperpyörät, jotka kulkevat niiden rinnalla). Myös hyperbolisen tason negatiivinen kaarevuus on varsin selvästi nähtävissä sen vaikutuksesta kolmioiden ja neliöiden kulmien summaan.
Eukleideen tasossa niiden kulmien summa olisi 450° eli ympyrä ja neljännes. Tästä nähdään, että hyperbolisen tason kolmion kulmien summan on oltava pienempi kuin 180°. Toinen näkyvä ominaisuus on eksponentiaalinen kasvu. Esimerkiksi Circle Limit IV:ssä nähdään, että enkelien ja demonien määrä Arkistoitu 2009-03-18 Wayback Machineen n:n etäisyydellä keskipisteestä kasvaa eksponentiaalisesti. Demoneilla on yhtä suuri hyperbolinen pinta-ala, joten säteen n omaavan pallon pinta-alan on kasvettava eksponentiaalisesti n:ssä.
Hyperbolinen taso (tai sen approksimaatio) voidaan toteuttaa fysikaalisesti usealla eri tavalla. Erityisen tunnettu pseudosfääriin perustuva paperimalli on William Thurstonin ansiota. Hyperbolisia tasoja on voitu havainnollistaa virkkaamalla, ja ensimmäisen hyperbolisen tason teki Daina Taimina. Vuonna 2000 Keith Henderson esitteli nopeasti valmistettavan paperimallin, jota kutsuttiin "hyperboliseksi jalkapalloksi".
Institute For Figuring -instituutin kokoelma virkattuja hyperbolisia tasoja, jotka jäljittelevät koralliriuttaa.
Kirjallisuus
- Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto.
- Nikolai I. Lobatševski, Pangeometria, kääntäjä ja toimittaja: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
- Milnor, John W. (1982) Hyperbolinen geometria: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
- Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
- Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, AMS/LMS-sarjan History of Mathematics nide 10.
- Samuels, David. (Maaliskuu 2006) Knit Theory Discover Magazine, osa 27, numero 3.
- James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9.
| Viranomaisvalvonta: Kansalliskirjastot |
|
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mitä on hyperbolinen geometria?
V: Hyperbolinen geometria on ei-euklidista geometriaa, mikä tarkoittaa, että euklidista geometriaa määrittelevä yhdensuuntaisuuspostulaatti ei pidä paikkaansa. Hyperbolisella tasolla alun perin yhdensuuntaiset suorat etääntyvät toisistaan yhä kauemmaksi.
K: Miten hyperbolinen geometria eroaa tavallisesta tasogeometriasta?
V: Kun euklidisen geometrian sääntö korvataan hyperbolisen geometrian säännöllä, se toimii eri tavalla kuin tavallinen tasogeometria. Esimerkiksi kolmioiden kulmien summa on alle 180 astetta, mikä tarkoittaa, että ne ovat liian teräviä ja näyttävät siltä, että sivut uppoavat keskelle.
Kysymys: Onko olemassa oikeita esineitä, jotka ovat hyperbolisen tason kappaleiden muotoisia?
V: Kyllä, jotkut korallit ja salaatit ovat hyperbolisen tason kappaleiden muotoisia.
K: Miksi internetin kartan piirtäminen voi olla helpompaa, kun kartta ei ole tasainen?
V: Internetin kartan piirtäminen voi olla helpompaa, kun kartta ei ole tasainen, koska reunoilla on enemmän tietokoneita mutta keskellä hyvin vähän.
K: Sovelletaanko tätä käsitettä muuhunkin kuin tietokoneverkkojen kartoittamiseen?
V: Jotkut fyysikot ovat jopa sitä mieltä, että maailmankaikkeutemme on hieman hyperbolinen.
Etsiä