Fibonaccin luku
Fibonaccin luvut ovat matematiikan lukujono, joka on nimetty Fibonaccina tunnetun Pisan Leonardon mukaan. Fibonacci kirjoitti vuonna 1202 kirjan nimeltä Liber Abaci ("Laskentakirja"), joka esitteli numerokuvion länsieurooppalaiseen matematiikkaan, vaikka intialaiset matemaatikot tiesivät siitä jo aiemmin.
Kuvion ensimmäinen luku on 0, toinen luku on 1, ja jokainen sen jälkeinen luku on yhtä suuri kuin kahden sitä edeltävän luvun yhteenlaskeminen. Esimerkiksi 0+1=1 ja 3+5=8. Tämä sarja jatkuu loputtomiin.
Tämä voidaan kirjoittaa toistosuhteena,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} 
Jotta tämä olisi järkevää, on annettava ainakin kaksi lähtökohtaa. Tässä F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
ja F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Fibonaccin spiraali, joka luodaan piirtämällä viiva Fibonaccin laatoituksen neliöiden läpi; tässä käytetään neliöitä, joiden koot ovat 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ja 34; katso Kultainen spiraali.
Fibonaccin luvut luonnossa
Fibonaccin luvut liittyvät kultaiseen leikkaukseen, joka näkyy monin paikoin rakennuksissa ja luonnossa. Esimerkkejä ovat lehtien kuvio varren päällä, ananaksen osat, artisokan kukinta, saniaisen avautuminen ja käpyjen asettelu. Fibonaccin luvut löytyvät myös mehiläisten sukupuusta.
Auringonkukka, jonka kukinnot ovat 34- ja 55-kierroksisia ulkokierrossa.
Binet'n kaava
N:nnen Fibonaccin luvun voi kirjoittaa kultaisen leikkauksen avulla. Näin vältetään rekursioiden käyttö Fibonaccin lukujen laskemiseen, mikä voi viedä tietokoneelta kauan aikaa.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Jossa φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
, kultainen leikkaus.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on Fibonaccin sarja?
V: Fibonaccin sekvenssi on matematiikassa esiintyvä lukumalli, joka on nimetty Fibonaccina tunnetun Pisan Leonardo of Pisan mukaan. Se alkaa luvuilla 0 ja 1, ja jokainen sen jälkeinen luku on yhtä suuri kuin kahden sitä edeltävän luvun yhteenlasku.
Kysymys: Kuka esitteli tämän numerokuvion länsieurooppalaiseen matematiikkaan?
V: Fibonacci kirjoitti vuonna 1202 kirjan nimeltä Liber Abaci ("Laskennan kirja"), joka toi lukukuvion länsieurooppalaiseen matematiikkaan, vaikka intialaiset matemaatikot tiesivät siitä jo aiemmin.
K: Miten Fibonaccin lukujono voidaan kirjoittaa?
V: Fibonaccin lukujono voidaan kirjoittaa rekurenssisuhteena, jossa F_n = F_n-1 + F_n-2, kun n ≥ 2.
K: Mitkä ovat tämän rekurenssisuhteen lähtökohdat?
V: Jotta tässä olisi järkeä, on annettava vähintään kaksi lähtökohtaa. Tässä F_0 = 0 ja F_1 = 1.
K: Jatkuuko Fibonaccin sarja ikuisesti?
V: Kyllä, sarja jatkuu ikuisesti.
K: Missä matemaatikot oppivat ensimmäisen kerran tästä numerokuviosta? V: Intian matemaatikot tunsivat tämän numerokuvion jo ennen kuin Leonardo Pisan (Fibonaccin) esitteli sen Länsi-Euroopassa.
