Kun on olemassa luku a ja toinen pienempi luku b, näiden kahden luvun suhde saadaan jakamalla ne. Niiden suhde on a/b. Toinen suhdeluku saadaan laskemalla nämä kaksi lukua yhteen ja jakamalla se suuremmalla luvulla a. Uusi suhdeluku on (a+b)/a. Jos nämä kaksi suhdelukua ovat yhtä suuria kuin sama luku, tätä lukua kutsutaan kultaiseksi suhteeksi. Kreikkalainen kirjain {\displaystyle \varphi }(phi) käytetään yleensä kultaisen suhteen nimenä.

Jos esimerkiksi b = 1 ja a/b = {\displaystyle \varphi }, niin a = {\displaystyle \varphi }. Toinen suhde (a+b)/a on tällöin {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }. Koska nämä kaksi suhdelukua ovat yhtä suuret, tämä on totta:

{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Yksi tapa kirjoittaa tämä luku on

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618...}

{\displaystyle {\sqrt {5}}} on luku, joka kerrottuna itsellään tekee 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}

Kultaista leikkausta kutsutaan irrationaaliluvuksi. Se tarkoittaa, että jos sitä yrittää kirjoittaa, se ei koskaan lopu eikä muodosta kaavaa, vaan alkaa näin: 1.6180339887... Tärkeä asia tässä luvussa on se, että jos siitä vähennetään 1 tai sillä jaetaan 1, saadaan sama luku.



Määritelmä ja yhtälö

Kultainen suhde φ määritellään sellaiseksi positiiviseksi luvuksi, että jakamalla suurempi osa pienemmällä saadaan sama luku kuin jakamalla koko pituus suuremmalla osalla. Algebraalisesti tämä antaa yhtälön

φ = (φ + 1) / φ,

josta seuraa kvadratiivinen yhtälö

φ² = φ + 1.

Tämän yhtälön positiivinen ratkaisu on

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887...

Perusominaisuudet

  • Toinen asteen yhtälö: φ² = φ + 1.
  • Käänteisluku: 1/φ = φ − 1 ≈ 0.61803. Tämä tarkoittaa, että jakamalla 1 kultaisella suhteella saadaan sama kuin vähentämällä 1 phi:sta.
  • Pää- ja konjugaattiluku: φ:n toinen ratkaisu yhtälöstä φ² = φ + 1 on ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0.61803. Tällä konjugaattilla on ominaisuuksia kuten ψ = −1/φ.
  • Tulolauseke: φ·ψ = −1 (eli φ × (1 − φ) = −1), ja φ + ψ = 1.
  • Potenssit: φⁿ = Fₙ·φ + Fₙ₋₁, missä Fₙ on n:s Fibonacci-luku (ks. alla).

Yhteys Fibonacci-lukuihin

Fibonacci-jonon lukuja F₁, F₂, F₃, ... muodostetaan sääntöä Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ noudattaen, aloittaen yleensä F₁ = 1, F₂ = 1. Suhde peräkkäisten Fibonacci-lukujen välillä lähestyy kultaisen suhteen arvoa:

lim_{n→∞} Fₙ₊₁ / Fₙ = φ.

Tämä antaa käytännöllisen tavan arvioida φ:ta laskemalla suurten Fibonacci-lukujen suhdetta.

Jatkuva murtoluku ja irrationaalisuus

Kultainen suhde voidaan esittää yksinkertaisena jatkuvana murtolukuna:

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))).

Tämä ääretön ketju koostuu pelkistä ykkösistä, ja sen vuoksi φ on irrationaaliluku — desimaaliesitys ei toistu eikä lopu.

Geometria ja esimerkit

  • Kultainen suorakaide: Suorakaidetta, jonka sivujen suhde on φ, kutsutaan kultaiseksi suorakaiteeksi. Sitä pidetään esteettisesti miellyttävänä ja sitä käytetään suunnittelussa ja arkkitehtuurissa.
  • Regulaarinen viisikulmio ja tähti: Kultaisen suhteen yhteydet näkyvät säännöllisessä viisikulmiossa ja viisikulmion lävistäjien leikkauskohdissa sekä viisipisteisen tähden suhteissa.
  • Kiertokäyrät: Kultainen spiraali, joka rakentuu peräkkäisistä neliöistä ja kaarista, liittyy kultaisen suhteen mittasuhteisiin ja näkyy usein luonnossa (esim. kämmekkäiden ja joissain kasvien lehtiasetelmissa).

Sovelluksia

  • Taide ja muotoilu: sommitteluissa ja mittasuhteissa hyödynnetään usein kultaisen suhteen proporsioita.
  • Arkkitehtuuri: historiallisissa rakennuksissa ja nykyarkkitehtuurissa etsitään joskus kultaisen suhteen läheisyyttä mittasuhteissa.
  • Luonto: tiettyjä kasvuston ja kasvien kasvumalleja, kuten käpyjen ja auringonkukkien siementen asettelua, voidaan noin mallintaa suhteilla, jotka liittyvät Fibonacci-jonoon ja siten φ:hen.
  • Tietojenkäsittely ja matematiikka: kultainen suhde esiintyy analyysissä, optimoinnissa ja hajautusfunktioiden teoreettisessa tarkastelussa.

Lyhyt johtelu

Jos oletetaan, että suuremman ja pienemmän osan suhde on sama kuin kokonaisuuden ja suuremman suhde, saadaan φ = (φ + 1)/φ. Kerrotaan yhtälö φ:llä ja järjestellään:

φ² = φ + 1 ⇒ φ² − φ − 1 = 0.

Ratkaisemalla tämä toisen asteen yhtälö saadaan φ = (1 + √5) / 2 (positiivinen ratkaisu), ja näin saadaan tunnettu numeerinen arvo ~1.6180339887....

Lisätietoja

Kultainen suhde on monipuolinen käsite, jolla on syviä yhteyksiä algebraan, lukujonoihin ja geometriaan. Jos haluat, voin lisätä esimerkiksi johdannon Binet'n kaavaan, todistuksen siitä, miten Fibonacci-suhteet lähestyvät φ:ta, tai esimerkkejä kultaisen suhteen käytöstä taiteessa ja arkkitehtuurissa.