Fourier-muunnos | matemaattinen funktio, jonka avulla voidaan löytää perustaajuudet, joista aalto koostuu

Fourier-muunnos on matemaattinen funktio, jonka avulla voidaan löytää aallon perustaajuudet. Kuvittele, että soitat sointua pianolla. Soitettaessa soinnun nuottien äänet sekoittuvat yhteen ja muodostavat ääniaallon. Tämä toimii, koska jokaisen eri nuotin aallot häiritsevät toisiaan laskemalla yhteen tai kumoamalla ne aallon eri kohdissa. Fourier-muunnos ottaa tämän kompleksisen aallon ja pystyy löytämään sen muodostaneet taajuudet, mikä tarkoittaa, että sillä voidaan löytää nuotit, joista sointu on muodostettu.

Fourier-muunnoksen ulostuloa kutsutaan toisinaan taajuusspektriksi tai -jakaumaksi, koska se näyttää syötteen mahdollisten taajuuksien jakauman. Tätä funktiota käytetään moniin tarkoituksiin kryptografiassa, valtameritutkimuksessa, koneoppimisessa, radiologiassa, kvanttifysiikassa sekä äänisuunnittelussa ja visualisoinnissa.

Funktion Fourier-muunnos f(x) , joskus kirjoitettuna {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}, saadaan kaavalla

{\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx}

missä:

  • {\displaystyle \alpha } on taajuus.
  • {\displaystyle F(\alpha )} on Fourier-muunnosfunktio, ja se palauttaa arvon, joka kuvaa sitä, kuinka yleinen taajuus {\displaystyle \alpha } on alkuperäisessä signaalissa.
  • {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} edustaa tuloaaltofunktion f(x) käärimistä kompleksitason origon ympäri jollakin taajuudella {\displaystyle \alpha }.

Käänteinen Fourier-muunnos saadaan seuraavasti

{\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha }

Fourier-muunnos osoittaa, mitä taajuuksia signaalissa on. Tarkastellaan esimerkiksi ääniaaltoa, joka sisältää kolme erilaista nuottia: Kun teet kuvaajan tämän ääniaallon Fourier-muunnoksesta (jossa taajuus on x-akselilla ja voimakkuus y-akselilla), näet piikin kullakin taajuudella, joka vastaa yhtä nuotista.

Monia signaaleja voidaan luoda laskemalla yhteen kosinuksia ja sinuksia, joiden amplitudi ja taajuus vaihtelevat. Fourier-muunnos esittää näiden kosinusten ja sinien amplitudit ja vaiheet suhteessa niiden taajuuksiin.

Fourier-muunnokset ovat tärkeitä, koska monista signaaleista saa enemmän tolkkua, kun niiden taajuudet erotetaan toisistaan. Yllä olevassa ääniesimerkissä signaalin tarkastelu ajan suhteen ei tee selväksi, että signaalissa ovat sävelet A, B ja C. Monet järjestelmät tekevät eri asioita eri taajuuksille, joten tällaisia järjestelmiä voidaan kuvata sen mukaan, mitä ne tekevät kullekin taajuudelle. Esimerkki tästä on suodatin, joka estää korkeat taajuudet.

Fourier-muunnoksen laskeminen edellyttää integroinnin ja imaginäärilukujen ymmärtämistä. Fourier-muunnosten laskemiseen käytetään tavallisesti tietokoneita vain yksinkertaisimmissa signaaleissa. Nopea Fourier-muunnos on menetelmä, jota tietokoneet käyttävät Fourier-muunnoksen nopeaan laskemiseen.

·         Original function showing a signal oscillating at 3 hertz.

Alkuperäinen funktio, jossa näkyy 3 hertsin taajuudella värähtelevä signaali.

·         Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz

Integraatin reaali- ja imaginaariosat Fourier-muunnoksessa 3 hertsin taajuudella

·         Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz

Integraatin reaali- ja imaginääriosat Fourier-muunnoksessa 5 hertsin taajuudella

·         Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.

Fourier-muunnos, jossa 3 ja 5 hertsiä merkitty.


 

Aiheeseen liittyvät sivut

 

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Fourierin muunnos?


A: Fourier-muunnos on matemaattinen funktio, jonka avulla voidaan löytää perustaajuudet, joista aalto koostuu. Se ottaa kompleksisen aallon ja löytää sen muodostavat taajuudet, minkä avulla voidaan tunnistaa soinnun muodostavat nuotit.

Kysymys: Mihin tarkoituksiin Fourier-muunnosta käytetään?


V: Fourier-muunnoksella on monia käyttötarkoituksia kryptografiassa, valtameritutkimuksessa, koneoppimisessa, radiologiassa, kvanttifysiikassa sekä äänisuunnittelussa ja visualisoinnissa.

K: Miten Fourier-muunnos lasketaan?


V: Funktion f(x) Fourier-muunnos saadaan kaavalla F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx missä ב on taajuus. Tämä palauttaa arvon, joka kuvaa, kuinka yleinen taajuus ב on alkuperäisessä signaalissa. Käänteinen Fourier-muunnos on f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

Kysymys: Miltä näyttää Fourier-muunnoksen ulostulo?


V: Fourier-muunnoksen tulosta voidaan kutsua joko taajuusspektriksi tai jakaumaksi, koska se näyttää syötteen mahdollisten taajuuksien jakauman.

K: Miten tietokoneet laskevat nopeita Fourier-muunnoksia?


V: Tietokoneet käyttävät algoritmia nimeltä Fast Fourier Transform (FFT) laskeakseen nopeasti kaikki muut kuin yksinkertaisimpien signaalien muunnokset.

K: Mitä signaalien tarkastelu ajan suhteen ei näytä meille?


V: Kun tarkastellaan signaaleja ajan suhteen, ei käy ilmi, mitä ääniä niissä on; monista signaaleista saa enemmän tolkkua, kun niiden taajuudet erotetaan toisistaan ja analysoidaan erikseen.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3