Aritmetiikan peruslause: alkulukujen yksikäsitteinen tekijäjako ja käyttö

Ensimmäinen henkilö, joka todisti lauseen, oli Eukleides. Ensimmäinen yksityiskohtainen ja oikea todistus oli Carl Friedrich Gaußin Disquisitiones Arithmeticae -teoksessa.

Jotkut saattavat ajatella, että lause on totta kaikkialla. Lause ei kuitenkaan päde yleisemmissä lukujärjestelmissä, kuten algebrallisissa kokonaisluvuissa. Ernst Kummer mainitsi tämän ensimmäisen kerran vuonna 1843 teoksessaan Fermat'n viimeinen lause. Lisätietoa tästä: lue algebrallinen lukuteoria.

Todistus koostuu kahdesta osasta: ensinnäkin osoitamme, että jokainen luku voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona; toiseksi osoitamme, että jos kirjoitamme luvun toisen kerran alkulukujen tulona, kahden alkulukujen luettelon on oltava sama.

Todistuksen ensimmäinen osa

Osoitamme, että jos jokaista lukua, joka on suurempi kuin 1, ei voida kirjoittaa alkulukujen tulona, päädymme jonkinlaiseen mahdottomuuteen. Tämän jälkeen päätämme, että on oltava totta, että jokainen luku voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona.

Katsotaan nyt, mitä tapahtuu, kun joku sanoo tietävänsä positiivisen kokonaisluvun, joka on suurempi kuin 1 ja jota ei voi kirjoittaa alkulukujen tulona. Tällöin pyydämme häntä mainitsemaan kaikki luvut, jotka ovat suurempia kuin 1 ja joita ei voida kirjoittaa alkulukujen tulona. Yhden näistä luvuista on oltava pienin: sanotaan sitä n. Tämä luku n ei tietenkään voi olla 1. Se ei myöskään voi olla alkuluku, koska alkuluku on yhden alkuluvun "tuote": itse alkuluku. Sen on siis oltava lukujen tulo. Näin ollen -

n = ab

jossa sekä a että b ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat tietenkin pienempiä kuin n. Mutta: n oli pienin luku, jota ei voi kirjoittaa alkulukujen tulona. Joten a ja b on voitava kirjoittaa alkulukujen tulona, koska ne ovat molemmat pienempiä kuin n. Mutta silloin tulo

n = ab

voidaan kirjoittaa myös alkulukujen tulona. Tämä on mahdottomuus, koska sanoimme, että n:ää ei voi kirjoittaa alkulukujen tulona.

Olemme nyt osoittaneet mahdottomuuden, joka on olemassa, jos lauseen ensimmäinen osa ei olisi totta. Näin olemme nyt todistaneet lauseen ensimmäisen osan.

Todistuksen toinen osa

Nyt meidän on todistettava, että on vain yksi tapa kirjoittaa positiivinen luku, joka on suurempi kuin 1, alkulukujen tulona.

Tätä varten käytämme seuraavaa lemmaa: jos alkuluku p jakaa tulon ab, se joko jakaa a:n tai b:n (Eukleideen lemma). Todistamme nyt ensin tämän lemman. Oletetaan, että p ei jaa a:ta. Silloin p ja a ovat yhteiskertoimisia, ja meillä on Bezoutin identiteetti, joka sanoo, että on oltava kokonaisluvut x ja y, jotka ovat sellaisia, että

px + ay = 1.

Kun kaikki kerrotaan b:llä, saadaan

pbx + aby = b,

Muista, että ab voidaan jakaa p:llä. Nyt vasemmalla puolella on kaksi termiä, jotka ovat jaollisia p:llä. Joten myös oikealla puolella oleva termi on jaollinen p:llä. Olemme nyt todistaneet, että jos p ei jaa a:ta, sen on jaettava b. Tämä todistaa lemman.

Nyt todistamme, että voimme kirjoittaa kokonaisluvun, joka on suurempi kuin 1, vain yhdellä tavalla alkulukujen tulona. Otetaan kaksi alkulukujen A ja B tuotetta, joilla on sama tulos. Tiedämme siis tuotteiden tuloksen, että A = B. Otetaan mikä tahansa alkuluku p ensimmäisestä tuotteesta A. Se jakaa A:n, joten se jakaa myös B:n. Käyttämällä useaan kertaan äsken todistamaamme lemmaa voimme nähdä, että p:n on silloin jaettava vähintään yksi B:n tekijä b. Mutta kaikki tekijät ovat itse alkulukuja, joten myös b on alkuluku. Mutta tiedämme, että p on myös alkuluku, joten p:n on oltava yhtä suuri kuin b. Jaamme siis nyt A:n p:llä ja jaamme myös B:n p:llä. Ja saamme tuloksen A* = B*. Jälleen voimme ottaa alkutuotteen A* alkuluvun p ja todeta, että se on yhtä suuri kuin jokin luku tuotteessa B*. Jatkamalla tällä tavalla näemme lopuksi, että kahden tuotteen alkutekijöiden on oltava täsmälleen samat. Tämä todistaa, että voimme kirjoittaa positiivisen kokonaisluvun alkulukujen tuotteena vain yhdellä ainoalla tavalla.

• Algebran perusteoria