Paikka-arvo matematiikassa – desimaalijärjestelmän määritelmä ja esimerkit

Opi paikka-arvo ja desimaalijärjestelmä selkeästi: määritelmä, havainnollistavat esimerkit ja käytännön harjoitukset oppilaille ja opettajille.

Matematiikan paikka-arvo tarkoittaa numeron sijaintiin perustuvaa arvoa lukujärjestelmässä: kukin numero (siffra) edustaa tiettyä kertalukua, joka riippuu sen paikasta luvussa.

Desimaalijärjestelmässä (perusluku 10), jossa käytetään numeroita 0–9, kunkin numeron paikka määrää sen arvon kymmenen potenssina. Desimaalipisteen vasemmalla olevat paikat ovat kokonaislukojen paikkoja (1, 10, 100, ...), ja oikealla olevat paikat ovat murtolukujen paikkoja (0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...).

Yksinkertainen tapa esittää paikat on taulukkomaisesti merkitsemällä paikkojen nimet:

Tätä voidaan havainnollistaa seuraavasti: H T U . t h th

Missä H = sadaset (100), T = kymmenet (10), U = yksiköt (1), t = kymmenesosat (0,1), h = sadasosat (0,01), th = tuhannesosat (0,001).

Esimerkit

• Numero 427.356 tarkoittaa: 4·100 + 2·10 + 7·1 + 3·0,1 + 5·0,01 + 6·0,001 = 400 + 20 + 7 + 0,3 + 0,05 + 0,006 = 427,356.
• Numero 102.05 tarkoittaa: 1·100 + 0·10 + 2·1 + 0·0,1 + 5·0,01 = 100 + 0 + 2 + 0 + 0,05 = 102,05. Tässä nollat pitävät paikkojaan — ne kertovat, ettei kyseisillä paikoilla ole ylimääräistä arvoa.
• Numero 0,004 tarkoittaa 4·0,001 eli neljä tuhannesosaa.

Matemaattinen yleisesitys

Jos luku koostuu numeroista ... d3 d2 d1 d0 . d-1 d-2 ..., niin sen arvo on

d3·10^3 + d2·10^2 + d1·10^1 + d0·10^0 + d-1·10^-1 + d-2·10^-2 + ...

Tässä jokainen d on siffra 0–9 ja eksponentti kertoo paikan suhteessa desimaalipisteeseen.

Miksi paikka-arvo on tärkeä?

• Paikka-arvo mahdollistaa isoja ja pieniä lukuja esitettäväksi kompaktiisti käyttämällä samoja numeroita eri arvoisina paikka-asennosta riippuen.
• Se selittää peruslaskutoimitukset kuten yhteen- ja vähennyslaskun, koska luvut on kohdattava paikoittain (yksiköt yhteen, kymmenet yhteen jne.).
• Se on lähtökohta lukujen pyöristämiselle: pyöristäminen tapahtuu tiettyyn paikkaan perustuen (esim. pyöristäminen kymmeniin tai tuhannesosiin).

Huomioita ja laajennuksia

• Desimaalijärjestelmä on vain yksi paikka-arvojärjestelmä; muissa järjestelmissä (esim. binäärissä, perus 2) paikan kertoimina ovat saman järjestelmän perusluvut (2^n).
• Tieteellinen esitys (esim. 4,27356·10^2) hyödyntää paikka-arvoa tiiviissä muodossa suurten tai hyvin pienten lukujen käsittelyssä.

Pienet harjoitukset

• Mitä on paikka-arvona numeron 5 kohdalla luvussa 5 304,12? Vastaus: 5·1 000 = 5 000 (se on tuhannespaikalla).
• Mikä on luvun 0,089 paikka-arvo numerolle 8? Vastaus: 8·0,01 = 0,08 (sadasosapaikka).

Hae kirjaimella