Suhteet ja suhdeluvut: prosentit, osuudet ja esimerkit

Matematiikassa sana "suhteet" tarkoittaa kahden suhdeluvun välistä yhteyttä, joka usein kirjoitetaan murtolukuna tai muodossa a:b. Suhde kertoo, kuinka monta kertaa toinen luku on toista suurempi tai miten kaksi määrää vertautuvat toisiinsa. Suhteet rakentuvat samaan tapaan kuin yhtälöt, ja niitä voidaan käyttää useissa arjen ja tieteen ongelmissa.

Perusesimerkit

Suhteita voi esittää erilaisissa muodoissa. Esimerkkejä:

50/100 = 1/2 (eli puolet)
75/100 = 3/4 (eli kolme neljäsosaa)
x/100 = 3/4, jossa x = 75 (tämä on tapa ilmaista prosentteja: x % = osuus · 100)

Suhteet algebrassa ja käytännön laskelmissa

Algebrassa suhteita ja verrantoja käytetään usein muuttamaan lukuarvoja tai ratkaisemaan tuntemattomia. Periaate on se, että jos kaksi suhdetta ovat yhtä suuret, ne muodostavat verrannon ja voidaan ratkaista ristiinkertolaskulla (cross-multiplication): jos a/b = c/d, niin ad = bc.

Seuraava käytännön esimerkki havainnollistaa ajatusta:

Oletetaan, että bensiinin hinta nousee 0,35 dollarista (3,50 $ → 3,85 $). Jos aiemmin sait 40 dollarilla tietyn määrän bensiiniä, paljonko sama määrä maksaa uudella hinnalla?

Ennen hinta per yksikkö: 3,50 $/yksikkö
Nykyinen hinta per yksikkö: 3,85 $/yksikkö
Alkuperäinen kustannus: 40 $

Merkitään uutta kustannusta x:llä ja asetetaan verranto saman ostetun määrän säilyttämiseksi:

x / 3,85 = 40 / 3,50

Ratkaisemalla saadaan

x = (40 / 3,50) × 3,85 = 44,00 $.

Siis sama määrä bensiiniä maksaa nyt 44,00 $, eli 4,00 $ enemmän. Prosentuaalinen hinnan muutos on

(3,85 − 3,50) / 3,50 × 100 % = 0,35 / 3,50 × 100 % = 10 %.

Tämä selittää, miksi myös 40 $ → 44 $ on 10 %:n nousu.

Murtoluvut, desimaalit ja prosentit

Suhteet voidaan esittää murtolukuna, desimaalina tai prosenttina. Muunnokset:

Murtoluku → desimaali: jaa osoittaja nimittäjällä (esim. 3/4 = 0,75)
Desimaali → prosentti: kerro sadalla (0,75 × 100 % = 75 %)
Prosentti → murtoluku: prosenttiluku jaettuna 100:lla (75 % = 75/100 = 3/4)

Näin voit nopeasti muuntaa esimerkiksi suhteen 75/100 sekä ymmärtää, että se vastaa sekä desimaalina 0,75 että prosenttina 75 %.

Verrannollisuus ja ristiinkertolasku

Kun kaksi suhdetta ovat yhtä suuret, muodostuu verranto. Verrannon ratkaisu ristiinkertolaskulla:

Jos a/b = c/d, niin ad = bc.

Esimerkiksi jos x/3,85 = 40/3,50 (kuten edellä), niin x·3,50 = 40·3,85, josta x = (40·3,85)/3,50.

Tilastotieteessä: osuudet ja symbolit

Tilastotieteessä osuus ilmaisee, kuinka suuri osa tutkittavasta perusjoukosta tai otoksesta sisältää tietyn ominaisuuden. Otoksen osuuden merkitsemiseen käytetään usein kirjainta p. Perusjoukon tosiasiallista osuutta merkitään usein kreikkalaisella kirjaimella π.

Matemaattisesti otoksen osuus lasketaan

p = (havaintojen lukumäärä, joilla ominaisuus esiintyy) / (otoksen koko).

Perusjoukon osuutta merkitsevän symbolin näyttöjä artikkelissa ovat seuraavat kuvakkeet:

$p$ $\pi$

Tilastollisia osuuksia käytetään mm. kyselytutkimusten tulosten, onnistumisprosenttien ja riskien arvioinnissa.

Missä suhteita käytetään arjessa

Ruokaohjeet ja reseptit (aineosien suhteet)
Kartat ja mittakaavat (suhde etäisyyksien välillä)
Rahoitus ja korot (prosentuaaliset muutokset)
Tekniikka (vaihteet, seossuhteet)
Tilastot ja tutkimukset (osuudet ja prosentit)

Yhteenvetona: suhde on yksinkertainen mutta erittäin hyödyllinen tapa verrata kahta määrää. Sen osaamista helpottaa murtolukujen, desimaalien ja prosenttien hallinta sekä verranto-ongelmien ratkaisu ristiinkertolaskulla.

Suhteellisuusvakio

Suhteellisuusvakio on luku, jota käytetään muunnettaessa yhdessä järjestelmässä tehty mittaus vastaavaksi mittaukseksi toisessa järjestelmässä. Esimerkiksi ihmiset, jotka tuntevat Yhdysvalloissa käytetyn perinteisen yksikköjärjestelmän (punnat, jalat, tuumat jne.), voivat joutua selvittämään näiden mittojen metrisen vastineen grammoina ja metreinä. Näiden laskutoimitusten tekemiseen tarvitaan joitakin suhteellisuusvakioita.

Yksi tapa kirjoittaa kaava, joka osoittaa suhteellisuusvakion K käytön, on:

KX = Y

Ihmiset voivat esimerkiksi tietää, että heillä on 100 munaa, ja haluavat tietää, kuinka monta tusinaa munia heillä on. Suhteellisuusvakio K on tällöin 1 tusina/ 12 munaa.

100 kananmunaa × (1 tusina / 12 kananmunaa) = 8 tusinaa kananmunaa + 4 kananmunaa.

Yleisesti ottaen, jos kahdelle funktiolle f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) ja g ( x ) {\displaystyle g(x)} $g(x)$ on olemassa vakio K {\displaystyle K} $K$ siten, että f ( x ) = K g ( x ) {\displaystyle f(x)=Kg(x)} $f(x)=Kg(x)$ , sanotaan, että " f {\displaystyle f} on suoraan verrannollinen g {\displaystyle g} kanssa. ". Symboleissa tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: f ( x ) ∝ $f(x)\propto g(x)$ .

Esimerkkejä suhteellisuusvakioista

· Planckin vakio ilmaisee tietyn taajuuden fotonin energian yleisesti käytettynä energian yksikkönä, jouleina.

Aiheeseen liittyvät sivut

Suhteellisuus

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä sana "suhteet" tarkoittaa matematiikassa?

V: Matematiikassa sana "suhteet" tarkoittaa kahta yhtälöön laitettua suhdelukua.

K: Miten suhteita voidaan käyttää tavallisten ongelmien ratkaisemiseen?

V: Suhteitten avulla voidaan ratkaista monia yleisiä ongelmia, jotka liittyvät lukujen muuttamiseen. Jos esimerkiksi jonkin ostoksen hinta nousee, suhteita voidaan käyttää laskemaan, kuinka paljon enemmän rahaa tarvitaan kyseiseen ostokseen.

K: Mikä on suhdeluku tilastotieteessä?

V: Tilastotieteessä suhdeluku on luku, joka mittaa sitä, kuinka paljon tiettyä ominaisuutta on otoksessa tai perusjoukossa, ja sitä voidaan ajatella prosenttilukuna.

K: Miten otoksen osuudet esitetään?

V: Otososuudet esitetään käyttämällä p-kirjainta.

K: Miten populaation osuudet esitetään?

V: Populaation osuudet esitetään kreikkalaisella kirjaimella ً (pi).

K: Mikä on esimerkki siitä, miten suhteita voidaan käyttää ongelman ratkaisemiseen?

V: Esimerkkinä 40 dollaria maksavan bensiinin (bensiinin) oston korotuksesta, jos hinta nousisi 35 senttiä 3,50 dollarista 3,85 dollariin, niin suhde olisi +x⁄3,85 = +40⁄3,50 dollaria, ja ratkaisu olisi yksinkertaisesti x = 40/3,50 x 3,85 = 44,00 dollaria eli 4 dollaria enemmän, kun 0,35 dollaria korkeampi .

Kysymys: Onko olemassa muita laskutoimituksia, jotka voidaan ratkaista suhteiden avulla?

V: Kyllä, monet muut yleiset laskutoimitukset voidaan ratkaista käyttämällä suhteita osoittamaan lukujen välisiä suhteita.