Matematiikassa sana "suhteet" tarkoittaa kahden suhdeluvun välistä yhteyttä, joka usein kirjoitetaan murtolukuna tai muodossa a:b. Suhde kertoo, kuinka monta kertaa toinen luku on toista suurempi tai miten kaksi määrää vertautuvat toisiinsa. Suhteet rakentuvat samaan tapaan kuin yhtälöt, ja niitä voidaan käyttää useissa arjen ja tieteen ongelmissa.
Perusesimerkit
Suhteita voi esittää erilaisissa muodoissa. Esimerkkejä:
- 50/100 = 1/2 (eli puolet)
- 75/100 = 3/4 (eli kolme neljäsosaa)
- x/100 = 3/4, jossa x = 75 (tämä on tapa ilmaista prosentteja: x % = osuus · 100)
Suhteet algebrassa ja käytännön laskelmissa
Algebrassa suhteita ja verrantoja käytetään usein muuttamaan lukuarvoja tai ratkaisemaan tuntemattomia. Periaate on se, että jos kaksi suhdetta ovat yhtä suuret, ne muodostavat verrannon ja voidaan ratkaista ristiinkertolaskulla (cross-multiplication): jos a/b = c/d, niin ad = bc.
Seuraava käytännön esimerkki havainnollistaa ajatusta:
Oletetaan, että bensiinin hinta nousee 0,35 dollarista (3,50 $ → 3,85 $). Jos aiemmin sait 40 dollarilla tietyn määrän bensiiniä, paljonko sama määrä maksaa uudella hinnalla?
- Ennen hinta per yksikkö: 3,50 $/yksikkö
- Nykyinen hinta per yksikkö: 3,85 $/yksikkö
- Alkuperäinen kustannus: 40 $
Merkitään uutta kustannusta x:llä ja asetetaan verranto saman ostetun määrän säilyttämiseksi:
x / 3,85 = 40 / 3,50
Ratkaisemalla saadaan
x = (40 / 3,50) × 3,85 = 44,00 $.
Siis sama määrä bensiiniä maksaa nyt 44,00 $, eli 4,00 $ enemmän. Prosentuaalinen hinnan muutos on
(3,85 − 3,50) / 3,50 × 100 % = 0,35 / 3,50 × 100 % = 10 %.
Tämä selittää, miksi myös 40 $ → 44 $ on 10 %:n nousu.
Murtoluvut, desimaalit ja prosentit
Suhteet voidaan esittää murtolukuna, desimaalina tai prosenttina. Muunnokset:
- Murtoluku → desimaali: jaa osoittaja nimittäjällä (esim. 3/4 = 0,75)
- Desimaali → prosentti: kerro sadalla (0,75 × 100 % = 75 %)
- Prosentti → murtoluku: prosenttiluku jaettuna 100:lla (75 % = 75/100 = 3/4)
Näin voit nopeasti muuntaa esimerkiksi suhteen 75/100 sekä ymmärtää, että se vastaa sekä desimaalina 0,75 että prosenttina 75 %.
Verrannollisuus ja ristiinkertolasku
Kun kaksi suhdetta ovat yhtä suuret, muodostuu verranto. Verrannon ratkaisu ristiinkertolaskulla:
Jos a/b = c/d, niin ad = bc.
Esimerkiksi jos x/3,85 = 40/3,50 (kuten edellä), niin x·3,50 = 40·3,85, josta x = (40·3,85)/3,50.
Tilastotieteessä: osuudet ja symbolit
Tilastotieteessä osuus ilmaisee, kuinka suuri osa tutkittavasta perusjoukosta tai otoksesta sisältää tietyn ominaisuuden. Otoksen osuuden merkitsemiseen käytetään usein kirjainta p. Perusjoukon tosiasiallista osuutta merkitään usein kreikkalaisella kirjaimella π.
Matemaattisesti otoksen osuus lasketaan
p = (havaintojen lukumäärä, joilla ominaisuus esiintyy) / (otoksen koko).
Perusjoukon osuutta merkitsevän symbolin näyttöjä artikkelissa ovat seuraavat kuvakkeet:
Tilastollisia osuuksia käytetään mm. kyselytutkimusten tulosten, onnistumisprosenttien ja riskien arvioinnissa.
Missä suhteita käytetään arjessa
- Ruokaohjeet ja reseptit (aineosien suhteet)
- Kartat ja mittakaavat (suhde etäisyyksien välillä)
- Rahoitus ja korot (prosentuaaliset muutokset)
- Tekniikka (vaihteet, seossuhteet)
- Tilastot ja tutkimukset (osuudet ja prosentit)
Yhteenvetona: suhde on yksinkertainen mutta erittäin hyödyllinen tapa verrata kahta määrää. Sen osaamista helpottaa murtolukujen, desimaalien ja prosenttien hallinta sekä verranto-ongelmien ratkaisu ristiinkertolaskulla.
