Ominaisarvot ja ominaisvektorit

Perusteet

Jos on olemassa neliömatriisi nimeltä A, skalaari λ ja nollasta poikkeava vektori v, λ on ominaisarvo ja v on ominaisvektori, jos seuraava yhtälö täyttyy:

A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. }

Toisin sanoen, jos matriisi A kertaa vektori v on yhtä suuri kuin skalaari λ kertaa vektori v, λ on v:n ominaisarvo, jossa v on ominaisvektori.

A:n ominaistila on kaikkien niiden omien vektorien joukko, joilla on sama ominaisarvo, sekä nollavektori. Nollavektori ei kuitenkaan ole ominaisvektori.

Näitä ajatuksia laajennetaan usein yleisempiin tilanteisiin, joissa skalaarit ovat minkä tahansa kentän elementtejä, vektorit ovat minkä tahansa vektoriavaruuden elementtejä ja lineaariset muunnokset voidaan esittää matriisikertolaskennalla tai ei. Esimerkiksi reaalilukujen sijasta skalaarit voivat olla kompleksilukuja, nuolten sijasta vektorit voivat olla funktioita tai taajuuksia, ja matriisikertolaskennan sijasta lineaariset muunnokset voivat olla operaattoreita, kuten laskennan derivaatta. Nämä ovat vain muutamia lukemattomista esimerkeistä, joissa ominaisvektorit ja ominaisarvot ovat tärkeitä.

Tällaisissa tapauksissa suunnan käsite menettää tavanomaisen merkityksensä, ja sillä on sen sijaan abstraktimpi määritelmä. Mutta tässäkin tapauksessa, jos abstrakti suunta pysyy muuttumattomana tietyn lineaarisen muunnoksen avulla, käytetään etuliitettä "eigen", kuten sanoissa eigenfunction, eigenmode, eigenface, eigenstate ja eigenfrequency.

Ominaisarvoilla ja -vektoreilla on monia sovelluksia sekä puhtaassa että sovelletussa matematiikassa. Niitä käytetään matriisitekijöinnissä, kvanttimekaniikassa, kasvontunnistusjärjestelmissä ja monilla muilla aloilla.

Esimerkki

Matriisin A osalta

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }

vektori

x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\\-3\end{bmatrix}}}

on ominaisvektori, jonka ominaisarvo on 1. Todellakin,

A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }

Toisaalta vektori

x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\\\1\end{bmatrix}}}

ei ole ominaisvektori, koska

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }

ja tämä vektori ei ole alkuperäisen vektorin x monikerta.