Ominaisvektorit ja ominaisarvot — määritelmä ja esimerkit
Opi ominaisvektorit ja ominaisarvot: selkeä määritelmä, havainnolliset esimerkit ja sovellukset lineaarialgebrassa — ymmärrä muunnokset helposti.
Lineaarialgebrassa puhutaan funktiotyypeistä, joita kutsutaan muunnoksiksi. Tässä yhteydessä ominaisvektori on nollavektorista poikkeava vektori, jonka suunta ei muutu muunnoksessa (paitsi jos muunnos kääntää vektorin vastakkaiseen suuntaan). Vektori voi muuttaa pituuttaan tai muuttua nollaksi ("null"). Ominaisarvo on vektorin pituuden muutoksen arvo. Sana "eigen" on saksankielinen ja tarkoittaa "omaa".
Määritelmä
Matemaattisesti ominaisvektori v ja siihen liittyvä ominaisarvo λ määritellään tavallisesti lineaariselle muunnokselle tai n×n-matriisille A vaatimalla
A v = λ v,
missä v ≠ 0 (nollavektori ei ole sallittu ominaisvektori). Tulkinta: muunnos A venyttää, kutistaa tai kääntää vektoria v, mutta ei muuta sen suuntaa (paitsi mahdollinen suunnanvaihto, kun λ on negatiivinen).
Esimerkkejä
- Helppo esimerkki on diagonaalimatriisi A = [[2,0],[0,3]]. Tällöin e1 = (1,0)^T ja e2 = (0,1)^T ovat ominaisvektoreita ja vastaavat ominaisarvot ovat 2 ja 3.
- Rotaatio 2-ulotteisessa tasossa (esim. kulma 90°) ei yleensä jätä mitään reaalisia vektoreita paikalleen suunnallisina — tällaisella rotaatiolla ei ole reaalisia ominaisvektoreita (paitsi erotapauksessa 180°, jolloin λ = −1 ja kaikki vektorit kääntyvät vastakkaiseen suuntaan).
- Jos A v = 0 v, niin v on ominaisvektori ja λ = 0. Tämä tarkoittaa, että A ei ole käännettävissä (singulaarinen).
Tärkeitä ominaisuuksia ja käsitteitä
- Ominaisarvot ratkaistaan karakteristisesta yhtälöstä: det(A − λI) = 0. Tämä antaa polynomin (karakteristinen polynomi), jonka juuret ovat ominaisarvoja (oletuksena kompleksilukualueelle neuvoteltuna).
- Algebrallinen ja geometrinen moninkertaisuus: Algebrallinen moninkertaisuus on juuren moninkertaisuus karakteristisessa polynomissa. Geometrinen moninkertaisuus on ominaisavaruuden (eli kaikkien vektoreiden v, joille A v = λ v) dimensiolla mitattu moninkertaisuus. Geometrinen moninkertaisuus on aina ≤ algebrallinen.
- Diagonalisoituvuus: Matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria (eli muodostaa kannan). Tällöin A = PDP^−1, missä D on diagonaalinen ominaisarvoilla ja P:n sarakkeina ovat ominaisvektorit.
- Reaali- ja kompleksiset ominaisarvot: Reaalisia symmetrisiä matriiseja koskee spektriteoreema: niillä on reaaliset ominaisarvot ja ortogonaalisesti valittavissa olevat ominaisvektorit (voidaan valita ortonormaaliksi joukoksi). Muut matriisit saattavat tarvita kompleksikentän, jotta kaikki ominaisarvot ja ominaisvektorit tulevat näkyviin.
- Skalaarinen kertominen: Jos v on ominaisvektori λ:lle, niin kaikilla skalaareilla c ≠ 0 v myös c v on samaan λ:hen liittyvä ominaisvektori. Ominaisvektori kuvaa suunnan, ei pituutta.
- Nollat ja käännettävyys: Jos 0 on ominaisarvo, matriisi ei ole käännettävä. Päinvastoin, ei-nollaiset ominaisarvot eivät yksin takaa käännettävyyttä, mutta jos kaikki ominaisarvot ovat nollasta poikkeavia (ja kenttä laajaan), A on käännettävä.
Käyttökohteita ja sovelluksia
- Differentiaaliyhtälöiden ratkaisut (esim. lineaaristen systeemien eksponentti A t liittyy ominaisarvoihin ja -vektoreihin).
- Tilastotiede ja data-analyysi: pääkomponenttianalyysi (PCA) käyttää ominaisvektoreita ja -arvoja löytääkseen datan tärkeimmät suunnat.
- Fysiikka ja kvanttimekaniikka: observablen ominaisarvot ovat mitattavia arvoja ja ominaisvektorit tiloja.
- Stabiilisuus-analyysi dynaamisissa järjestelmissä: ominaisarvojen reaaliosat kertovat, hajotaanko vai kasvaako pieni häiriö ajan myötä.
Yhteenvetona: ominaisvektorit ja ominaisarvot kuvaavat lineaarimuunnoksen vaikutusta tiettyihin suuntiin — ne kertovat, mitkä suunnat säilyvät muunnoksen yhteydessä ja miten niiden pituus muuttuu. Ne ovat keskeinen työkalu monilla matematiikan ja soveltavien tieteenalojen alueilla.
Kuva (Mona Lisan) muodonmuutoksesta: Kuva muuttuu siten, että punainen nuoli (vektori) ei muuta suuntaansa, mutta sininen muuttaa. Punainen vektori on siis tämän muunnoksen ominaisvektori, sininen ei. Koska punainen vektori ei muuta pituuttaan, sen ominaisarvo on 1. Käytettyä muunnosta kutsutaan leikkauskartoitukseksi.
Perusteet
Jos on olemassa neliömatriisi nimeltä A, skalaari λ ja nollasta poikkeava vektori v, λ on ominaisarvo ja v on ominaisvektori, jos seuraava yhtälö täyttyy:
A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. } 
Toisin sanoen, jos matriisi A kertaa vektori v on yhtä suuri kuin skalaari λ kertaa vektori v, λ on v:n ominaisarvo, jossa v on ominaisvektori.
A:n ominaistila on kaikkien niiden omien vektorien joukko, joilla on sama ominaisarvo, sekä nollavektori. Nollavektori ei kuitenkaan ole ominaisvektori.
Näitä ajatuksia laajennetaan usein yleisempiin tilanteisiin, joissa skalaarit ovat minkä tahansa kentän elementtejä, vektorit ovat minkä tahansa vektoriavaruuden elementtejä ja lineaariset muunnokset voidaan esittää matriisikertolaskennalla tai ei. Esimerkiksi reaalilukujen sijasta skalaarit voivat olla kompleksilukuja, nuolten sijasta vektorit voivat olla funktioita tai taajuuksia, ja matriisikertolaskennan sijasta lineaariset muunnokset voivat olla operaattoreita, kuten laskennan derivaatta. Nämä ovat vain muutamia lukemattomista esimerkeistä, joissa ominaisvektorit ja ominaisarvot ovat tärkeitä.
Tällaisissa tapauksissa suunnan käsite menettää tavanomaisen merkityksensä, ja sillä on sen sijaan abstraktimpi määritelmä. Mutta tässäkin tapauksessa, jos abstrakti suunta pysyy muuttumattomana tietyn lineaarisen muunnoksen avulla, käytetään etuliitettä "eigen", kuten sanoissa eigenfunction, eigenmode, eigenface, eigenstate ja eigenfrequency.
Ominaisarvoilla ja -vektoreilla on monia sovelluksia sekä puhtaassa että sovelletussa matematiikassa. Niitä käytetään matriisitekijöinnissä, kvanttimekaniikassa, kasvontunnistusjärjestelmissä ja monilla muilla aloilla.
Esimerkki
Matriisin A osalta
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. } 
vektori
x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\\-3\end{bmatrix}}} 
on ominaisvektori, jonka ominaisarvo on 1. Todellakin,
A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. } 
Toisaalta vektori
x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\\\1\end{bmatrix}}} 
ei ole ominaisvektori, koska
[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. } 
ja tämä vektori ei ole alkuperäisen vektorin x monikerta.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mitä on lineaarialgebra?
V: Lineaarialgebra on matematiikan haara, joka käsittelee vektoriavaruuksien ja lineaaristen muunnosten tutkimusta.
K: Mikä on omavektori?
V: Omavektori on vektori, jonka suunta ei muutu muunnoksen jälkeen, paitsi siinä tapauksessa, että muunnos kääntää sen vastakkaiseen suuntaan.
K: Mitä tarkoittaa termi "nollavektori"?
A: Nollavektori on vektori, jonka pituus tai suuruus on nolla.
K: Mikä on ominaisarvo?
V: Ominaisarvo on ominaisvektorin pituuden muutoksen arvo sen jälkeen, kun sille on tehty muunnos.
K: Mikä on ominaisarvon merkitys lineaarialgebrassa?
V: Ominaisarvolla on ratkaiseva merkitys lineaarialgebrassa, koska se auttaa määrittämään muunnoksen ominaisuudet.
K: Mistä sana "eigenarvo" on peräisin?
V: Sana "eigen" tulee saksan kielestä, joka tarkoittaa "omaa" tai "tyypillistä".
K: Voiko omavektorista tulla nollavektori muunnoksen jälkeen?
V: Kyllä, omavektorista voi tulla nollavektori muunnoksen jälkeen.
Etsiä