Typistetty ikosaedri – arkimedealainen kappale (C60, jalkapallomalli)

Typistetty ikosaedri (C60, jalkapallomalli) — arkimedealainen kappale: 12 viisikulmiota, 20 kuusikulmiota, 60 kärkeä ja 90 reunaa. Geometria, mallit ja sovellukset.

Typistetty ikosaedri (tunnetaan myös nimellä lyhennetty ikosaedri) on arkimedealainen kappale. Säännöllinen ikosaedri koostuu 20 kolmiosta; kun se typistetään, kukin alkuperäinen kärki leikataan pois ja korvataan uudella pinnalla. Koska jokaisessa ikosaedrin kärjessä kohtaa viisi reunaa, leikatuista kohdista muodostuu viisikulmiot, ja alkuperäiset kolmiot muuttuvat kuusikulmioiksi.

Typistetty ikosaedri koostuu yhteensä 32 pinnasta: 12 säännöllisestä viisikulmiosta ja 20 kuusikulmiosta. Sen pinnat liittyvät toisiinsa siten, että jokaisessa kärjessä kohtaa yksi viisikulmio ja kaksi kuusikulmiota — tätä merkitään vertex-konfiguraatiolla 5.6.6. Polyedrilla on 60 kärkeä ja 90 reunaa, ja Eulerin lauseen mukaan V − E + F = 60 − 90 + 32 = 2.

Ominaisuudet ja symmetria

• Tyypilliset pinnat: säännölliset viisikulmiot ja kuusikulmiot (Archimedealaisessa muodossa molemmat voivat olla säännöllisiä).
• Vertex-konfiguraatio: 5.6.6 (yhdessä kärjessä yksi viisikulmio ja kaksi kuusikulmiota).
• Reunat ja kärjet: 90 reunaa, 60 kärkeä.
• Symmetria: täysi ikosaedrinen symmetriaryhmä (Ih), samantapainen symmetria kuin säännöllisellä ikosaedrilla.

Rakentaminen ja geometria

Typistysoperaatio tarkoittaa, että jokaisesta alkuperäisen ikosaedrin kärjestä leikataan pieni osa tasaisin leikkauksin tai tasoleikkauksin samalla etäisyydellä kunkin kärjen sijainnista. Leikkauksen suuruus määrää, ovatko syntyvät kuusikulmiot ja viisikulmiot säännöllisiä; arkimedealaisessa typistetyssä ikosaedrissa leikkaukset valitaan niin, että pinnat ovat säännöllisiä. Tällöin alkuperäiset kolmionmuotoiset pinnat muuttuvat kuusikulmioiksi ja jokaisesta leikatusta kärjestä muodostuu viisikulmio.

Käyttötarkoitukset ja esiintymät

• Kemia: C60-molekyyli (buckminsterfullereeni) muistuttaa typistettyä ikosaedria: hiiliatomit sijoittuvat siten, että muodostuu 12 pentagonia ja 20 heksagonia, muodostaen pallomaisen hiilirakenteen.
• Urheiluvälineet: perinteinen jalkapallo (jalkapallomalli) käyttää samaa kuviointia: mustat pentagonit ja valkoiset hexagonit, jolloin pinnan geometriaksi tulee typistetty ikosaedri.
• Arkkitehtuuri ja mallit: geodeettiset kupolit ja lampunvarjostimet hyödyntävät samanlaista kuviota ja symmetriaa.

Muuta huomioitavaa

Typistetty ikosaedri on yksi tunnetuimmista ja visuaalisesti tunnistettavimmista arkimedealaisista kappaleista juuri siksi, että sen rakenne yhdistää tasaisesti viisi- ja kuusikulmioita ja tarjoaa monipuolisia sovelluksia luonnossa ja tekniikassa. Se on myös hyvä esimerkki siitä, miten yksinkertaisella operaatiolla (kärkien typistys) voidaan muodostaa täysin uusi, säännöllisiltä osin harmoninen polyedri.

Hae kirjaimella