Venn-diagrammi | diagrammi, joka osoittaa joukkojen välisen loogisen suhteen

Venn-kaavio on kaavio, joka osoittaa joukkojen välisen loogisen suhteen. John Venn teki ne tunnetuksi 1880-luvulla, ja niitä käytetään nykyään laajalti. Niitä käytetään joukkojen teorian alkeisopetuksessa ja havainnollistamaan yksinkertaisia joukkojen välisiä suhteita todennäköisyydessä, logiikassa, tilastotieteessä, kielitieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä. Venn-diagrammissa käytetään tasoon piirrettyjä suljettuja käyriä kuvaamaan joukkoja. Hyvin usein nämä käyrät ovat ympyröitä tai ellipsejä.

Vastaavia ajatuksia oli esitetty jo ennen Venniä. Esimerkiksi Christian Weise vuonna 1712 (Nucleus Logicoe Wiesianoe) ja Leonhard Euler vuonna 1768 (Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle) esittivät samanlaisia ajatuksia. Venn popularisoi ajatuksen teoksessaan Symbolic Logic, luku V "Diagrammatic Representation", 1881.

Lasimaalauksia Cambridgessa, jossa John Venn opiskeli. Siinä on Vennin kaavio.

Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä käytetään kahta joukkoa, A ja B, jotka esitetään tässä värillisinä ympyröinä. Oranssi ympyrä, joukko A, edustaa kaikkia kaksijalkaisia eläviä olentoja. Sininen ympyrä, joukko B, edustaa eläviä olentoja, jotka voivat lentää. Kukin erillinen oliotyyppi voidaan kuvitella pisteeksi jossakin kohtaa kaaviota. Elävät olennot, jotka voivat sekä lentää että olla kaksijalkaisia - esimerkiksi papukaijat - ovat siis molemmissa joukoissa ja vastaavat siten pisteitä alueella, jossa sininen ja oranssi ympyrä ovat päällekkäin. Tämä alue sisältää kaikki (ja vain) tällaiset elävät olennot.

Ihmiset ja pingviinit ovat kaksijalkaisia, joten ne ovat oranssissa ympyrässä, mutta koska ne eivät osaa lentää, ne ovat oranssin ympyrän vasemmassa osassa, jossa se ei ole päällekkäin sinisen ympyrän kanssa. Hyttysillä on kuusi jalkaa, ja ne lentävät, joten hyttysten piste on sinisen ympyrän siinä osassa, joka ei ole päällekkäinen oranssin ympyrän kanssa. Oliot, jotka eivät ole kaksijalkaisia eivätkä osaa lentää (esimerkiksi valaat ja hämähäkit), edustaisivat kaikki pisteitä molempien ympyröiden ulkopuolella.

Joukkojen A ja B yhdistettyä aluetta kutsutaan joukkojen A ja B liitoksi, jota merkitään A ∪ B. Tässä tapauksessa liitossa ovat mukana kaikki elävät olennot, jotka ovat joko kaksijalkaisia tai jotka voivat lentää (tai molemmat). Sekä A:ssa että B:ssä olevaa aluetta, jossa nämä kaksi joukkoa ovat päällekkäin, kutsutaan A:n ja B:n leikkauspisteeksi, jota merkitään A ∩ B. Esimerkiksi näiden kahden joukon leikkauspiste ei ole tyhjä, koska siinä on pisteitä, jotka edustavat sekä oranssiin että siniseen ympyrään kuuluvia olioita.

Sarjat A (kaksijalkaiset olennot) ja B (lentävät olennot).

Joukkojen yleisten operaatioiden Venn-diagrammit

Alla olevissa kuvissa vasen ympyrä osoittaa joukkoa A {\displaystyle A} $A$ ja oikea ympyrä osoittaa joukkoa B {\displaystyle B} $B$ . Operaatioiden tulokset on esitetty värillisinä alueina.

Ero B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} $B\setminus A$

Ero A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} $A\setminus B$

A:n komplementti A A C = U ∖ A {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A} $A^{\rm {C}}=U\setminus A$

Union A ∪ B {\displaystyle A\cup B} $A\cup B$

Risteys A ∩ B {\displaystyle A\cap B} $A\cap B$

Aiheeseen liittyvät sivut

Yksinomainen disjunktio
Inklusiivinen disjunktio

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on Venn-diagrammi?

A: Venn-diagrammi on kaavio, joka osoittaa joukkojen välisen loogisen suhteen. Siinä käytetään tasoon piirrettyjä suljettuja käyriä, yleensä ympyröitä tai ellipsejä, kuvaamaan joukkoja.

K: Kuka teki Venn-diagrammit tunnetuksi?

V: John Venn teki Venn-diagrammit tunnetuksi 1880-luvulla.

K: Mihin niitä käytetään?

V: Niitä käytetään joukkojen teorian alkeiden opettamiseen ja yksinkertaisten joukkojen suhteiden havainnollistamiseen todennäköisyydessä, logiikassa, tilastotieteessä, kielitieteessä ja tietojenkäsittelytieteessä.

K: Kuka esitti vastaavia ajatuksia ennen John Venniä?

V: Christian Weise ehdotti samankaltaisia ajatuksia vuonna 1712 teoksessaan Nucleus Logicoe Wiesianoe ja Leonhard Euler ehdotti niitä kirjassaan Letters to a German Princess vuonna 1768.

K: Milloin John Venn julkaisi Symbolisen logiikan?

V: John Venn julkaisi Symbolic Logic -kirjan vuonna 1881.

Kysymys: Missä Symbolic Logic -teoksen luvussa John Venn popularisoi Venn-diagrammin idean?

V: John Venn teki Venn-diagrammin idean tunnetuksi Symbolista logiikkaa käsittelevässä luvussa 5 "Diagrammatinen esittäminen".

K: Miten nämä ajatukset esitettiin ennen Venn-diagrammin nykyaikaisen version keksimistä?

V: Ennen V enn-diagrammin nykyaikaisen version keksimistä nämä ajatukset esitettiin käyttämällä tasoon piirrettyjä suljettuja käyriä, kuten ympyröitä tai ellipsejä.