Spiraali

Kierre on erityinen käyrä matematiikassa. Tämä käyrä alkaa pisteestä ja kiertää pisteen ympäri, mutta etääntyy siitä yhä kauemmas. Tämä eroaa ympyrästä (joka on aina samalla etäisyydellä) tai ellipsistä. Spiraali on "avoin" käyrä, toisin kuin ympyrä ja ellipsi, jotka ovat suljettuja käyriä.

Nautiluksen kuoren leikkaus, jossa kammiot on järjestetty suunnilleen logaritmiseksi kierteeksi.

Kaksiulotteiset spiraalit

Kaksiulotteinen spiraali voidaan kuvata helpoimmin polaarikoordinaattien avulla. Siinä säde r on jatkuva monotoninen kulman θ (theta) funktio. Ympyrää pidettäisiin degeneroituneena tapauksena. Ympyrällä funktio ei olisi tiukasti monotoninen, vaan vakio.

Joitakin tärkeimpiä kaksiulotteisia spiraaleja ovat:

Arkhimedeen spiraali: r = a + bθ
Eulerin spiraali, Cornun spiraali tai klotoidi
Fermatin kierre: r = θ^1/2
Hyperbolinen kierre: r = a/θ
Lituus: r = θ^-1/2
Logaritminen spiraali: r = ab^θ ; luonnosta löytyy likiarvoja tälle spiraalille
Fibonaccin spiraali ja kultainen spiraali: logaritmisen spiraalin erikoistapaukset.
Theodoroksen spiraali: vierekkäisistä suorista kolmioista koostuvan arkimedeolaisen spiraalin approksimaatio.

Arkhimedeen kierre

Cornu-kierre

Fermatin kierre

hyperbolinen kierre

lituus

logaritminen kierre

Theodoruksen kierre

Kolmiulotteiset spiraalit

Yksinkertaisissa kolmiulotteisissa spiraaleissa kolmas muuttuja h (korkeus) on myös jatkuva, monotoninen θ:n funktio. Esimerkiksi kartiokierre voidaan määritellä kartiopinnalla olevaksi spiraaliksi, jonka etäisyys huipusta on θ:n eksponentiaalinen funktio.

Kierre ja pyörre voidaan nähdä eräänlaisena kolmiulotteisena spiraalina.

Paksuudeltaan kierre, katso jousi (matematiikka).

Luonnossa

Luonnossa esiintyvien spiraalien tutkimuksella on pitkä historia, Christopher Wren havaitsi, että monet kuoret muodostavat logaritmisen spiraalin. Jan Swammerdam havaitsi monien eri kuorien yhteisiä matemaattisia ominaisuuksia Helixistä Spirulaan, ja Henry Nottidge Moseley kuvasi yksisimpukoiden kuorien matematiikkaa. D'Arcy Wentworth Thompsonin teoksessa On Growth and Form käsitellään laajasti näitä spiraaleja. Hän kuvaa, miten kuoret muodostuvat kiertämällä suljettua käyrää kiinteän akselin ympäri, jolloin käyrän muoto pysyy muuttumattomana mutta sen koko kasvaa geometrisesti. Joissakin kuorissa, kuten Nautiluksessa ja ammoniiteissa, syntyvä käyrä pyörii tasossa, joka on kohtisuorassa akseliin nähden, ja kuori muodostuu tasomaiseksi kiekkomaiseksi. Toisissa kuori seuraa vinoa rataa muodostaen kierteisen spiraalimaisen kuvion.

Thompson tutki myös sarvissa, hampaissa, kynsissä ja kasveissa esiintyviä spiraaleja.

Kasveissa ja eläimissä esiintyviä spiraaleja kuvataan usein pyörteinä.

H Vogel ehdotti mallia auringonkukan kukintojen kuvioinnista. Malli on seuraavanlainen

θ = n × 137,5 ∘ , r = c n {\displaystyle \theta =n\times 137,5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}} $\theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}$

jossa n {\displaystyle n} on kukan indeksiluku ja c {\displaystyle c} $c$ on vakio skaalauskerroin ja Fermat'n spiraalin muoto. Kulma 137,5° liittyy kultaiseen leikkaukseen, ja se antaa kukinnoille tiiviin pakkauksen.

Kierre edustaa myös ääretöntä. Se alkaa yhdestä pisteestä ja kiertyy ulospäin maailmankaikkeuden loppuun asti. Tämän vuoksi jotkut sivilisaatiot uskovat, että spiraali on polku tuonpuoleiseen.

Ernst Haeckelin teoksen Kunstformen der Natur (1904) 53. levy, jossa on Prosobranchia-luokkaan luokiteltuja eliöitä (joiden tiedetään nykyään olevan polyfyyttisiä).

Symboliksi

Spiraalilla on tärkeä rooli symboliikassa. Se esiintyy megaliittitaiteessa, erityisesti Newgrangen haudassa tai monissa galicialaisissa petroglyfeissä, kuten Mogorissa. Katso myös kolmoisspiraali.

Tutkijat keskustelevat aiheesta edelleen, mutta monet heistä uskovat nyt, että kiinalaisessa taiteessa esiintyvä yksinkertainen spiraali saattaa olla auringon symboli. Tang-dynastian ajalta peräisin olevia kattotiiliä, joissa on tämä symboli, on löydetty Chang'anin muinaisesta kaupungista (nykyisestä Xianista) länteen.

Spiraali on ikivanhin symboli, joka löytyy jokaiselta sivistyneeltä mantereelta. Koska sitä esiintyy hautapaikoissa eri puolilla maailmaa, spiraali edustaa todennäköisesti elämän, kuoleman ja uudestisyntymisen kiertokulkua. Samoin spiraali symboloi aurinkoa, sillä muinaiset ihmiset uskoivat auringon syntyvän joka aamu, kuolevan joka yö ja syntyvän uudelleen seuraavana aamuna.

Spiraalit ovat myös hypnoosin symboli. Tämä johtuu todennäköisesti kliseestä, jonka mukaan ihmiset ja piirroshahmot hypnotisoidaan tuijottamalla pyörivää spiraalia (yksi esimerkki on Kaa Disneyn Viidakkokirjassa). Niitä käytetään myös huimauksen symbolina, jossa sarjakuvahahmon silmät, erityisesti animen ja mangan yhteydessä. Spiraali symboloi DNA:n kaksoiskierteistä rakennetta, joka edustaa biologista evoluutiota, ja galaksin spiraalirakennetta.

Newgrangen sisäänkäynnin laatta