Matemaattinen analyysi | Se tarkastelee funktioita, sarjoja ja sarjoja

Matemaattinen analyysi on osa matematiikkaa. Se lyhennetään usein analyysiksi. Siinä tarkastellaan funktioita, sarjoja ja sarjoja. Näillä on hyödyllisiä ominaisuuksia ja piirteitä, joita voidaan käyttää tekniikassa. Matemaattinen analyysi tarjoaa tiukan loogisen perustan laskennalle, jossa tutkitaan jatkuvia funktioita, differentiointia ja integrointia. Matemaattinen analyysi on lyhennelmä sen vanhasta nimestä "infinitesimaalianalyysi", ja sen keskeisiä osa-alueita ovat muun muassa reaalianalyysi, kompleksianalyysi, differentiointiyhtälö ja funktionaalianalyysi.

Gottfried Wilhelm Leibniz ja Isaac Newton kehittivät suurimman osan matemaattisen analyysin perusteista.

Matemaattisen analyysin osat

Rajoitukset

Matemaattisen analyysin peruskäsite on raja-arvon käsite. Raja-arvojen avulla nähdään, mitä tapahtuu hyvin lähellä asioita. Raja-arvoja voidaan käyttää myös katsomaan, mitä tapahtuu, kun asiat kasvavat hyvin suuriksi. Esimerkiksi 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ ei ole koskaan nolla, mutta n:n kasvaessa 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ tulee yhä lähemmäksi nollaa. 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ raja-arvo n kasvaessa on nolla. Tätä kuvataan sanoilla "1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} ${\tfrac {1}{n}}$ raja-arvo n:n kasvaessa äärettömään on nolla", ja kirjoitetaan seuraavasti: lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} $\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

Vastine olisi 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} ${2}\times {n}$ . Kun n {\displaystyle {n}} ${n}$ kasvaa, raja menee äärettömään. Se kirjoitetaan seuraavasti: lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Algebran perusteoria voidaan todistaa joistakin kompleksianalyysin perustuloksista. Sen mukaan jokaisella polynomilla f ( x ) f(x) , jolla on reaalisia tai kompleksisia kertoimia, on kompleksinen juuri (missä juuri on luku x, joka täyttää yhtälön f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} $f(x)=0$ , ja jotkut näistä juurista voivat olla samoja).

Differentiaalilaskenta

Funktio f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} $f(x)={m}{x}+{c}$ on suora. M {\displaystyle {m}} ${m}$ osoittaa funktion kaltevuuden ja c {\displaystyle {c}} ${c}$ osoittaa funktion sijainnin ordinaatilla. Kun suoralla on kaksi pistettä, voidaan laskea kaltevuus m {\displaystyle {m}} ${m}$ avulla:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Funktio, jonka muoto on f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , joka ei ole lineaarinen, ei voida laskea kuten edellä. Kaltevuus voidaan laskea vain käyttämällä tangentteja ja sekantteja. Sekantti kulkee kahden pisteen kautta, ja kun nämä kaksi pistettä lähenevät toisiaan, se muuttuu tangentiksi.

Uusi kaava on m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} . $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

Tätä kutsutaan erotuskertoimeksi. x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ tulee nyt lähemmäksi x 0 {\displaystyle x_{0}}. $x_{0}$ . Tämä voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} . $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Tulosta kutsutaan f:n derivaataksi tai kaltevuudeksi pisteessä x {\displaystyle {x}} ${x}$ .

Integrointi

Integroinnissa on kyse pinta-alojen laskemisesta.

Symboli ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

on "f:n integraali x:n suhteen a:sta b:hen", ja sillä tarkoitetaan x-akselin, funktion f kuvaajan ja suorien x=a ja x=b välistä aluetta. Kohta a {\displaystyle a} on kohta, josta alueen pitäisi alkaa, ja kohta b {\displaystyle b} $b$ , johon alueen pitäisi päättyä.

Aiheeseen liittyvät sivut

Analyysin aiheet

Calculus
Monimutkainen analyysi
Toiminnallinen analyysi
Numeerinen analyysi

Analyysin käsitteet

Sarja
Jakso
Johdannainen
Integroitu

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on matemaattinen analyysi?

V: Matemaattinen analyysi on matematiikan osa-alue, jossa tarkastellaan funktioita, sarjoja ja sarjoja. Se tarjoaa tiukan loogisen perustan laskennalle, jossa tutkitaan jatkuvia funktioita, differentiointia ja integrointia.

K: Mitkä ovat matemaattisen analyysin keskeisiä osa-alueita?

V: Matemaattisen analyysin keskeisiä osa-alueita ovat reaalianalyysi, kompleksianalyysi, differentiaaliyhtälöt ja funktionaalianalyysi.

K: Miten matemaattista analyysia voidaan käyttää tekniikassa?

V: Matemaattista analyysia voidaan käyttää insinööritieteissä tutkimalla funktioiden, sarjojen ja sarjojen hyödyllisiä ominaisuuksia ja ominaispiirteitä.

K: Kuka kehitti suurimman osan matemaattisen analyysin perusteista?

V: Gottfried Wilhelm Leibniz ja Isaac Newton kehittivät suurimman osan matemaattisen analyysin perusteista.

K: Mikä oli matemaattisen analyysin vanha nimi?

V: Matemaattisen analyysin vanha nimi oli "infinitesimaalilaskenta" tai "calculus".

K: Miten laskutoimitus liittyy matemaattiseen analyysiin?

V: Laskennassa tutkitaan jatkuvia funktioita, differentiointia ja integrointia, jotka kaikki liittyvät matematiikan alaan, joka tunnetaan nimellä matemaattinen analyysi.