Harmoninen sarja – määritelmä ja ominaisuudet (divergentti ääretön sarja 1+1/2+...)

Nicole Oresme todisti 1300-luvulla, että harmoninen sarja divergoi, mutta se unohtui. Pietro Mengoli, Johann Bernoulli ja Jacob Bernoulli toimittivat todistukset 1600-luvulla.

Arkkitehdit ovat käyttäneet harmonisia sekvenssejä. Barokin aikana arkkitehdit käyttivät niitä pohjapiirustusten ja julkisivujen mittasuhteissa sekä kirkkojen ja palatsien arkkitehtonisten yksityiskohtien välisissä suhteissa.

Harmonisen sarjan divergenssistä on useita tunnettuja todistuksia. Seuraavassa esitetään muutamia niistä.

Vertailutesti

Yksi tapa todistaa divergenssi on verrata harmonista sarjaa toiseen divergenssisarjaan, jossa jokainen nimittäjä korvataan seuraavaksi suurimmalla kahden potenssilla:

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8}} }}}+{\frac {1}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16}} }}}+ \cdots \end{aligned}}}}

Jokainen harmonisen sarjan termi on suurempi tai yhtä suuri kuin toisen sarjan vastaava termi, joten harmonisen sarjan summan on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin toisen sarjan summa. Toisen sarjan summa on kuitenkin ääretön:

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}}

Tästä seuraa (vertailutestin avulla), että myös harmonisten sarjojen summan on oltava ääretön. Tarkemmin sanottuna yllä oleva vertailu osoittaa, että

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}}

jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle k.

Tätä Nicole Oresmen noin vuonna 1350 esittämää todistusta pidetään keskiaikaisen matematiikan huippukohtana. Se on edelleen vakiotodistus, jota opetetaan matematiikan tunneilla nykyäänkin.

Kokonaisvaltainen testi

On mahdollista todistaa, että harmoninen sarja divergoi vertaamalla sen summaa epäsuotuisaan integraaliin. Tarkastellaan oikealla olevassa kuvassa esitettyä suorakulmioiden järjestelyä. Kukin suorakulmio on 1 yksikön levyinen ja

1/n yksikköä korkea, joten äärettömän määrän suorakulmioita kokonaispinta-ala on harmonisten sarjojen summa:

suorakulmioiden pinta-ala = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}\\\{\text{rectangles}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }

Käyrän alapuolella oleva kokonaispinta-ala y =

1/x arvosta 1 äärettömään saadaan divergentti epäsäännöllinen integraali:

käyrän alle jäävä pinta-ala = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area under}}\\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}

Koska tämä pinta-ala sisältyy kokonaan suorakulmioihin, myös suorakulmioiden kokonaispinta-alan on oltava ääretön. Tämä todistaa, että

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1).}

Tämän väitteen yleistäminen tunnetaan nimellä integraalitesti.

Harmoninen sarja eroaa hyvin hitaasti. Esimerkiksi 10 ensimmäisen⁴³ termin summa on alle 100. Tämä johtuu siitä, että sarjan osasummilla on logaritminen kasvu. Erityisesti,

∑ n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}}

jossa γ on Euler-Mascheronin vakio ja ε_k ~

1/2k, joka lähestyy 0:ta, kun k on ääretön. Leonhard Euler todisti sekä tämän että sen, että summa, joka sisältää vain alkulukujen vastavuoroiset luvut, myös divergoi, toisin sanoen:

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ . {\displaystyle \sum _{p{\text{ prime}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}+{\frac {1}{7}}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}
 

Eroavien harmonisten sarjojen äärelliset osasummat,

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}

kutsutaan harmonisiksi luvuiksi.

H_n ja ln n:n erotus konvergoi Euler-Mascheroni-vakioon. Kahden harmonisen luvun erotus ei ole koskaan kokonaisluku. Yksikään harmoninen luku ei ole kokonaisluku, paitsi H₁ = 1.

Vaihtuva harmoninen sarja

Sarja

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }

tunnetaan vaihtuvana harmonisena sarjana. Tämä sarja konvergoituu vaihtuvan sarjan testin avulla. Erityisesti summa on yhtä suuri kuin 2:n luonnollinen logaritmi:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}

Vaihteleva harmoninen sarja on ehdollisesti konvergentti, mutta ei absoluuttisesti konvergentti: jos sarjan termejä järjestetään systemaattisesti uudelleen, summasta tulee yleensä erilainen ja järjestämisestä riippuen mahdollisesti jopa ääretön.

Vaihtuvan harmonisen sarjan kaava on erikoistapaus Mercator-sarjasta, joka on luonnollisen logaritmin Taylor-sarja.

Vastaava sarja voidaan johtaa arktangentin Taylorin sarjasta:

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}

Tämä tunnetaan Leibnizin sarjana.

Yleinen harmoninen sarja

Yleinen harmoninen sarja on muotoa

∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}

jossa a ≠ 0 ja b ovat reaalilukuja ja

b/a ei ole nolla tai negatiivinen kokonaisluku.

Harmonisten sarjojen raja-arvovertailutestin mukaan kaikki yleiset harmoniset sarjat poikkeavat myös toisistaan.

p-sarja

Harmonisen sarjan yleistys on p-sarja (tai hyperharmoninen sarja), joka on määritelty seuraavasti

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

mille tahansa reaaliluvulle p. Kun p = 1, p-sarja on harmoninen sarja, joka divergoi. Joko integraalitesti tai Cauchyn kondensointitesti osoittaa, että p-sarja konvergoi kaikilla p > 1 (jolloin sitä kutsutaan yliharmoniseksi sarjaksi) ja divergoi kaikilla p ≤ 1. Jos p > 1, niin p-sarjan summa on ζ(p) eli Riemannin zeta-funktio, joka on arvioitu pisteessä p.

Ongelmaa, joka koskee summan p = 2 löytämistä, kutsutaan Baselin ongelmaksi; Leonhard Euler osoitti, että se on seuraava.

π² /6. Summan arvoa p = 3 kutsutaan Apéryn vakioksi, koska Roger Apéry osoitti, että se on irrationaaliluku.

ln-sarja

P-sarjaan liittyy ln-sarja, joka on määritelty seuraavasti

∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}

mille tahansa positiiviselle reaaliluvulle p. Tämä voidaan osoittaa integraalitestillä, että se divergoi, kun p ≤ 1, mutta konvergoi, kun p > 1.

φ-sarja

Minkä tahansa kuperan, reaaliarvoisen funktion φ tapauksessa, joka on sellainen, että

lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}

sarja

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}

on konvergentti.

Satunnainen harmoninen sarja

Satunnainen harmoninen sarja

∑ n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

jossa s_n ovat riippumattomia, identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, jotka saavat arvot +1 ja -1 yhtä suurella todennäköisyydellä.

1/2, on todennäköisyysteoriassa tunnettu esimerkki satunnaismuuttujien sarjasta, joka konvergoi todennäköisyydellä 1. Tämä konvergenssi on helppo seuraus joko Kolmogorovin kolmen sarjan lauseesta tai siihen läheisesti liittyvästä Kolmogorovin maksimaalisesta epätasa-arvosta. Byron Schmuland Albertan yliopistosta tutki edelleen satunnaisen harmonisen sarjan ominaisuuksia ja osoitti, että konvergenssisarja on satunnaismuuttuja, jolla on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia. Erityisesti tämän satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio, joka arvioidaan +2:ssa tai -2:ssa, saa arvon 0,12499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999764..., mikä poikkeaa arvosta 1/8 alle 10⁻⁴² . Schmulandin artikkelissa selitetään, miksi tämä todennäköisyys on niin lähellä, mutta ei täsmälleen 1/8. Tämän todennäköisyyden tarkka arvo saadaan äärettömän kosinogeenituotteen integraalilla C₂ jaettuna π:llä.

Poistunut harmoninen sarja

Varttuneen harmonisen sarjan, jossa kaikki termit, joiden nimittäjässä esiintyy numero 9, on poistettu, voidaan osoittaa konvergoivan, ja sen arvo on pienempi kuin 80. Itse asiassa, kun kaikki termit, jotka sisältävät minkä tahansa numerosarjan (missä tahansa perusluvussa tahansa), poistetaan, sarja konvergoituu.

Harmoninen sarja voi olla vastakkainen. Tämä johtuu siitä, että se on divergentti sarja, vaikka sarjan termit pienenevät ja menevät kohti nollaa. Harmonisen sarjan divergenssi on joidenkin paradoksien lähde.

• "Mato kuminauhan päällä". Oletetaan, että mato ryömii äärettömän elastista yhden metrin pituista kuminauhaa pitkin samaan aikaan, kun kuminauhaa venytetään tasaisesti. Jos mato kulkee yhden senttimetrin minuutissa ja nauha venyy yhden metrin minuutissa, tuleeko mato koskaan kuminauhan päähän? Vastaus on intuitiivisesti "kyllä", sillä n minuutin kuluttua madon kulkeman matkan ja kuminauhan kokonaispituuden suhde on seuraava

1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Koska sarja kasvaa mielivaltaisesti, kun n kasvaa, tämän suhteen on lopulta oltava yli 1, mikä tarkoittaa, että mato saavuttaa kuminauhan pään. Sen n:n arvon, jolla tämä tapahtuu, on kuitenkin oltava erittäin suuri: noin e¹⁰⁰ , luku, joka ylittää 10⁴³ minuuttia (10³⁷ vuotta). Vaikka harmoninen sarja eroaa, se tekee sen hyvin hitaasti.

• Jeep-ongelmassa kysytään, kuinka paljon kokonaispolttoainetta tarvitaan, jotta auto, jonka polttoainekapasiteetti on rajallinen, voi ylittää aavikon ja jättää polttoainepisaroita reitin varrelle. Matka, jonka auto voi kulkea tietyllä polttoainemäärällä, liittyy harmonisten sarjojen osasummiin, jotka kasvavat logaritmisesti. Tarvittava polttoainemäärä kasvaa siis eksponentiaalisesti halutun matkan myötä.

• Palikoiden pinoamisongelma: Kun on olemassa kokoelma samanlaisia dominopalikoita, on mahdollista pinota ne pöydän reunalle niin, että ne roikkuvat pöydän reunan yli putoamatta. Vastakkainen tulos on, että ne voidaan pinota siten, että ylihangaus on niin suuri kuin halutaan. Siis edellyttäen, että dominopalikoita on tarpeeksi.

• Uimari, joka kiihtyy joka kerta, kun hän koskettaa altaan seinää. Uimari aloittaa 10 metrin altaan ylittämisen nopeudella 2 m/s, ja jokaisella ylittämisellä nopeuteen lisätään vielä 2 m/s. Teoriassa uimarin nopeus on rajoittamaton, mutta nopeuden saavuttamiseen tarvitaan hyvin monta altaan ylitystä; esimerkiksi valonnopeuden saavuttamiseksi (ilman erityistä suhteellisuusteoriaa) uimarin on ylitettävä allas 150 miljoonaa kertaa. Vastoin tätä suurta lukua tietyn nopeuden saavuttamiseen tarvittava aika riippuu sarjojen summasta, joka saadaan millä tahansa tietyllä määrällä altaan ylityksiä:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle {\frac {10}{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Summan laskeminen osoittaa, että valonnopeuden saavuttamiseen tarvitaan vain 97 sekuntia.

• Harmoninen eteneminen
• Luettelo vastavuoroisten summista