Logaritminen kierre
Logaritminen spiraali, tasakulmainen spiraali tai kasvuspiraali on erityinen spiraalikäyrä, joka esiintyy usein luonnossa. Logaritmisen spiraalin kuvasi ensimmäisen kerran Descartes, ja myöhemmin sitä tutki laajasti Jakob Bernoulli, joka kutsui sitä Spira mirabilikseksi, "ihmeelliseksi spiraaliksi".
Spiraaligalaksien varret ovat usein logaritmisen spiraalin muotoisia, tässä tapauksessa Whirlpool-galaksin.
Islannin yläpuolella oleva matalapainealue on suunnilleen logaritminen spiraalikuvio.
Logaritminen kierre (korkeus 10°)
Nautiluksen kuoren leikkaus, jossa kammiot on järjestetty suunnilleen logaritmiseksi kierteeksi.
Määritelmä
Polaarikoordinaatistossa (r, θ) käyrä voidaan kirjoittaa seuraavasti
r = a e b θ θ \displaystyle r=ae^{b\theta }\,} 
tai
θ = 1 b ln ( r / a ) , {\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),} 
tästä nimi "logaritminen". Parametrisessa muodossa käyrä on
x ( t ) = r cos ( t ) = a e b t cos ( t ) {\displaystyle x(t)=r\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,} 
y ( t ) = r sin ( t ) = a e b t sin ( t ) {\displaystyle y(t)=r\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,} 
reaaliluvuilla a ja b.
Spiraalilla on se ominaisuus, että tangentin ja säteittäisen suoran välinen kulma ɸ pisteessä (r,θ) on vakio. Tämä ominaisuus voidaan ilmaista differentiaaligeometrisesti seuraavasti
arccos ⟨ r ( θ ) , r ′ ( θ ) ⟩ ‖ r ( θ ) ‖ ‖ ‖ r ′ ( θ ) ‖ = arctan 1 b = ϕ , {\displaystyle \arccos {\frac {\\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|||\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi ,} 
Derivaatta r'(θ) on verrannollinen parametriin b. Toisin sanoen se säätelee sitä, kuinka "tiukasti" ja mihin suuntaan spiraali kiertyy. Ääritapauksessa b = 0 (ɸ = π/2) spiraali muuttuu ympyräksi, jonka säde on a. Sitä vastoin siinä raja-arvossa, jossa b lähestyy ääretöntä (ɸ → 0), spiraali pyrkii kohti suoraa. ɸ:n komplementtia kutsutaan pituudeksi.
Spira mirabilis ja Jakob Bernoulli
Spira mirabilis, latinaksi "ihmeellinen spiraali", on toinen nimi logaritmiselle spiraalille. Vaikka muut matemaatikot olivat jo nimenneet tämän käyrän, Jakob Bernoulli antoi tälle käyrälle nimen "ihmeellinen" tai "ihmeellinen" spiraali, koska häntä kiehtoi yksi sen ainutlaatuisista matemaattisista ominaisuuksista: spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana jokaisen lisätyn käyrän myötä. Ehkä tämän ominaisuuden vuoksi spira mirabilis on kehittynyt luonnossa, ja sitä on nähty joissakin elävissä olennoissa, kuten nautiluksen kuorissa ja auringonkukan päissä. Jakob Bernoulli halusi tämän muodon hautakiveensä, mutta erehdyksessä sinne sijoitettiin sen sijaan arkimedealainen spiraali.
Logaritmiset spiraalit luonnossa
Useissa luonnonilmiöissä voidaan löytää käyriä, jotka ovat lähellä logaritmisia spiraaleja. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä ja syitä:
- Haukan lähestyminen saalistaan. Niiden terävin näkymä on kulmassa niiden lentosuuntaan nähden; tämä kulma on sama kuin spiraalin nousu.
- Hyönteisen lähestyminen valonlähdettä. Ne ovat tottuneet siihen, että valonlähde on vakiokulmassa niiden lentorataan nähden. Tavallisesti aurinko on ainoa valonlähde, ja sen kautta lentäminen johtaa käytännössä suoraan linjaan.
- Spiraaligalaksien varret. Omassa galaksissamme, Linnunradassa, uskotaan olevan neljä suurta spiraalihaaraa, joista kukin on suunnilleen logaritminen spiraali, jonka nousukulma on noin 12 astetta, mikä on Linnunradan kaltaiselle galaksille epätavallisen pieni nousukulma. Yleensä spiraaligalaksien haarojen nousukulmat vaihtelevat noin 10 ja 40 asteen välillä.
- Trooppisten syklonien, kuten hurrikaanien, varret.
|
|
- Monet biologiset rakenteet, kuten hämähäkinseitit ja nilviäisten kuoret. Näissä tapauksissa syy on seuraava: Aloitetaan mistä tahansa epäsäännöllisen muotoisesta kaksiulotteisesta kuviosta F0 . Laajennetaan F0 tietyllä kertoimella, jolloin saadaan F1 , ja asetetaan F1 F0 viereen niin, että kaksi sivua koskettaa toisiaan. Laajennetaan nyt F1 samalla kertoimella, jolloin saadaan F2 , ja sijoitetaan se F1 viereen kuten aiemmin. Toistamalla tätä saadaan likimääräinen logaritminen kierre, jonka korkeus määräytyy laajennuskertoimen ja sen kulman mukaan, jolla luvut asetettiin vierekkäin. Tämä on esitetty monikulmionmuotoisten kuvioiden osalta oheisessa kuvassa.
