Kontinuumihypoteesi
Jatkuvuushypoteesi on hypoteesi, jonka mukaan ei ole olemassa joukkoa, joka olisi sekä suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko että pienempi kuin reaalilukujen joukko. Georg Cantor esitti tämän hypoteesin vuonna 1877.
Luonnollisia lukuja on äärettömän monta, luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus on ääretön. Tämä pätee myös reaalilukujen joukkoon, mutta reaalilukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja. Sanomme, että luonnollisilla luvuilla on ääretön kardinaalisuus ja reaaliluvuilla ääretön kardinaalisuus, mutta reaalilukujen kardinaalisuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen kardinaalisuus.
Tämä hypoteesi on ensimmäinen ongelma David Hilbertin vuonna 1900 julkaisemassa 23 ongelman luettelossa. Kurt Gödel osoitti vuonna 1939, että hypoteesia ei voida väärentää Zermelo-Fraenkelinjoukko-opin avulla. Zermelo-Fraenkelin joukko-oppi on matematiikassa yleisesti käytetty joukko-oppi. Paul Cohen osoitti 1960-luvulla, että Zermelo-Fraenkel-joukkoteoriaa ei voida käyttää myöskään kontinuumihypoteesin todistamiseen. Tästä Cohenille myönnettiin Fieldsin mitali.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on jatkumohypoteesi?
A: Jatkuvuushypoteesi on hypoteesi, jonka mukaan ei ole olemassa joukkoa, joka olisi sekä suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko että pienempi kuin reaalilukujen joukko.
K: Kuka esitti kontinuumihypoteesin ja milloin?
V: Georg Cantor esitti jatkumohypoteesin vuonna 1877.
K: Onko luonnollisia lukuja äärettömän monta?
V: Kyllä, luonnollisia lukuja on äärettömän monta.
K: Mikä on luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus?
V: Luonnollisten lukujen joukon kardinaalisuus on ääretön.
K: Onko reaalilukuja enemmän kuin luonnollisia lukuja?
V: Kyllä, reaalilukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja.
K: Voidaanko jatkumohypoteesi falsifioida Zermelo-Fraenkelin joukko-opin avulla?
V: Kurt Gödel osoitti vuonna 1939, että hypoteesia ei voida väärentää Zermelo-Fraenkel-joukkoteorian avulla.
K: Kuka osoitti, että Zermelo-Fraenkel-joukkoteoriaa ei voida käyttää jatkumohypoteesin todistamiseen?
V: Paul Cohen osoitti 1960-luvulla, että Zermelo-Fraenkel-joukkoteoriaa ei voida käyttää kontinuumihypoteesin todistamiseen.
