Schrödingerin yhtälö: kvanttimekaniikan perusta ja aaltofunktio
Schrödingerin yhtälö selitetty: kvanttimekaniikan perusta, aaltofunktion merkitys ja romahdus sekä käytännön sovellukset — selkeä opas ymmärtämiseen.
Schrödingerin yhtälö on differentiaaliyhtälö (yhtälötyyppi, johon liittyy tuntematon funktio tuntemattoman luvun sijasta), joka muodostaa kvanttimekaniikan perustan. Kvanttimekaniikka on yksi tarkimmista teorioista subatomisten hiukkasten käyttäytymisestä. Yhtälön esitti Erwin Schrödinger vuonna 1925. Se määrittelee hiukkasen tai systeemin (hiukkasryhmän) aaltofunktion, joka saa tietyn (yleensä kompleksilukuarvoisen) arvon jokaisessa avaruuden pisteessä jokaisena aikana. Aaltofunktion itseisarvon neliöstä |Ψ(x,t)|^2 saadaan todennäköisyustiheys, joka kertoo, kuinka todennäköisesti hiukkanen havaitaan tietyssä paikassa mittauksen yhteydessä. Aaltofunktio sisältää kaiken teoreettisesti saatavilla olevan tiedon systeemistä; fysikaaliset suureet saadaan usein laskemalla aaltofunktion avulla odotusarvoja tai käyttäen vastaavia operaattoreita.
Superpositio ja mittaus: Aaltofunktio voi olla samanaikaisesti useassa eri tilassa (superpositiotila), joten hiukkasella voi olla useita mahdollisia sijainteja, energioita tai muita ominaisuuksia ennen havainnointia. Kun mittaus tehdään, järjestelmä havaitaan yhdessä tietystä arvojoukosta: mittaus tuottaa yhden mahdollisen tuloksen arvoineen ja aaltofunktio muuttuu vastaavaan mittaustuloksen tilaan. Tätä kutsutaan aaltofunktion romahtamiseksi. Romehtumisen tarkka mekanismi ja sen tulkinta ovat edelleen filosofisen ja tieteellisen keskustelun kohteena; eri tulkinnat (esim. Kööpenhaminan tulkinta, monimaailmatulkinta) antavat erilaisia selityksiä.
- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)}
Tässä yhtälössä i {\displaystyle i}
on imaginaariyksikkö (eli -1:n neliöjuuri), ℏ {\displaystyle \hbar } 
on Planckin vakion pienempi yksikkö (redusoitu Planckin vakio), t {\displaystyle t}
on aika, x {\displaystyle x}
on sijaintikoordinaatti, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)}
on aaltofunktio, ja V ( x ) {\displaystyle V(x)}
on potentiaalienergia, joka on sijainnin funktio. Yhtälön vasen puoli vastaa Ψ {\displaystyle \Psi } Hamiltonin energiaoperaattoria. 
.
Time-riippumaton muoto ja energiatasot
Jos potentiaali V(x) ei riipu ajasta, ratkaisun voi usein esittää erotusmenetelmällä muodossa Ψ(x,t) = ψ(x)·φ(t). Tämä johtaa aika-riippumattomaan Schrödingerin yhtälöön (omatilaongelmaan):
Hψ = Eψ, eli
- (ℏ^2 / 2m) (d^2ψ/dx^2) + V(x) ψ(x) = E ψ(x),
missä E on energian ominaisarvo. Tällöin liikkeellelähtö ratkaisuista määräävät ominaisaallot (stationaaritilat) ψ(x) ja niihin liittyvät kvantisoidut energiatasot E. Kuvituksena tunnettu esimerkki on hiukkanen laatikossa (”particle in a box”), jonka energiatasot ovat diskreettejä johtuen reunaehdoista.
Aaltofunktion todennäköisyystulkinta ja normalisointi
Bornin tulkinnan mukaisesti |Ψ(x,t)|^2 on todennäköisyystiheys hiukkasen sijainnille. Tämän vuoksi fyysisesti hyväksyttävä aaltofunktio pitää normalisoida:
∫_{-∞}^{∞} |Ψ(x,t)|^2 dx = 1.
Säilyvyyssääntöjä seuraa myös kvanttimekaniikan jatkuvuusyhtälö, joka yhdistää todennäköisyystiheyden ja todennäköisyysvirran j(x,t):
∂|Ψ|^2/∂t + ∂j/∂x = 0.
Operaattorit, odotusarvot ja Hermiittisyys
Fysikaaliset suureet kvanttimekaniikassa vastaavat operaattoreita. Esimerkiksi sijainti x ja liikemäärä p ovat operaattoreita, ja odotusarvo lasketaan muotoa ⟨A⟩ = ∫ Ψ* A Ψ dx. Hamilton-operaattorin Hermiittisyys takaa, että energian ominaisarvot ovat reaalisia ja että aikakehitys on yksikköaryhdyttävää (unitary), jolloin todennäköisyyden kokonaismäärä säilyy.
Esimerkkejä ja keskeisiä ilmiöitä
- Hiukkanen laatikossa (infinite potential well): diskretoi energiatasot ja seisovat aaltomuodot.
- Harmoninen oskillaattori: ratkaistavissa analyyttisesti, energiat E_n = ℏω(n + 1/2).
- Tunneloituminen: hiukkanen voi läpäistä luokanmukaisesti kielletyn potentiaalivuoren, ilmiö jolla on suuri merkitys esim. mikroelektroniikassa ja ydinfysiikassa.
- Vapaat aallot ja sironta: aika-riippuvia ja aika-riippumattomia ratkaisuja käytetään sirontaongelmissa ja rajaehtoanalyyseissä.
Rajoitukset ja laajennukset
Schrödingerin yhtälö on epä-relativistinen; se pätee hyvin, kun hiukkasen nopeudet ovat paljon pienempiä kuin valonnopeus. Relativistisia ilmiöitä kuvaavat puolestaan Diracin yhtälö tai Klein–Gordonin yhtälö. Lisäksi toisiinsa vuorovaikuttavat monihiukkassysteemit vaativat usein approksimaatioita (esim. Hartree–Fock, tiheysfunktionaaliteoria) ja kvanttikenttäteoriassa käsitellään luontevasti hiukkasten synteesiä ja annihilaatiota.
Matemaattisia ja käytännöllisiä huomioita
Ratkaisut riippuvat potentiaalin muodosta ja reunaehdoista. Fyysisesti hyväksyttäviä aaltofunktioita ovat jatkuvat, normaalisoitavat ja tarvittaessa derivoituvat funktiot. Hamilton-operatorin ominaisarvo-ongelma muodostaa matemaattisen perustan kvanttikemian ja kvanttifiysiikan ennusteille ja laskelmiin.
Yhteenvetona: Schrödingerin yhtälö antaa tarkan matemaattisen kehyksen ei-relativistiselle kvanttimekaniikalle ja määrittää, miten aaltofunktio kehittyy ajassa ja miten mitattavat fysikaaliset suureet lasketaan. Se selittää lukuisia ilmiöitä, kuten energia(dis)kreettiyden, tunneloitumisen ja interferenssin, ja on keskeinen työkalu modernissa fysiikassa ja kemiassa.
Erwin Schrödingerin rintakuva Wienin yliopistossa. Siinä on myös Schrödingerin yhtälö.
Ajasta riippumaton versio
Oletetaan, että aaltofunktio Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} on aaltofunktio. 
, on separoituva, eli oletetaan, että kahden muuttujan funktio voidaan kirjoittaa kahden eri yhden muuttujan funktion tulona:
Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)}
voidaan osoittaa, että aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen kahdeksi erilliseksi differentiaaliyhtälöksi, kun käytetään tavanomaisia matemaattisia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tekniikoita
i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}
- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}
jossa ensimmäinen yhtälö riippuu ainoastaan ajasta T ( t ) {\displaystyle T(t)} 
ja toinen yhtälö riippuu vain sijainnista ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 
ja jossa E {\displaystyle E}
on vain luku. Ensimmäinen yhtälö voidaan ratkaista välittömästi, jolloin saadaan
T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}
jossa e {\displaystyle e}
on Eulerin luku. Toisen yhtälön ratkaisut riippuvat potentiaalienergiafunktiosta V ( x ) {\displaystyle V(x)} , joten niitä ei voida ratkaista ennen kuin tämä funktio on annettu. Kvanttimekaniikan avulla voidaan osoittaa, että luku E {\displaystyle E} on itse asiassa systeemin energia, joten nämä erotettavat aaltofunktiot kuvaavat systeemejä, joilla on vakioenergia. Koska energia on vakio monissa tärkeissä fysikaalisissa systeemeissä (esimerkiksi elektroni atomissa), käytetään usein edellä esitetyn erotettujen differentiaaliyhtälöiden sarjan toista yhtälöä. Tämä yhtälö tunnetaan nimellä ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö, koska siihen ei liity t {\displaystyle t} .
Aaltofunktion tulkinnat
Syntynyt Tulkinta
Aaltofunktiosta on monia filosofisia tulkintoja, ja tässä käsitellään muutamia johtavia ajatuksia. Tärkein ajatus, jota kutsutaan Bornin todennäköisyystulkinnaksi (nimetty fyysikko Max Bornin mukaan), perustuu siihen yksinkertaiseen ajatukseen, että aaltofunktio on neliöintegroituva, toisin sanoen.
∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }
Tällä melko yksinkertaisella kaavalla on suuria fyysisiä vaikutuksia. Born esitti hypoteesin, että edellä mainittu integraali määrittää, että hiukkanen on olemassa jossain avaruudessa. Mutta miten voimme löytää sen? Käytämme integraalia
∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}
jossa P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} on todennäköisyys
löytää hiukkanen alueelta b {\displaystyle b} - a {\displaystyle
a} . Toisin sanoen kaikki, mitä hiukkasesta voidaan yleisesti ottaen tietää etukäteen, ovat todennäköisyyksiä, keskiarvoja ja muita tilastollisia suureita, jotka liittyvät sen fysikaalisiin suureisiin (sijainti, impulssi jne.). Tämä on periaatteessa Bornin tulkinta.
Kööpenhaminan tulkinta
Edellä esitettyjä ajatuksia voidaan laajentaa. Koska Bornin tulkinnan mukaan hiukkasen todellista sijaintia ei voida tietää, voidaan johtaa seuraava. Jos Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}}
ovat aaltoyhtälön ratkaisuja, niin näiden ratkaisujen superpositio, ts.
Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}}
on myös ratkaisu. Tämä tarkoittaa siis, että hiukkanen on olemassa jokaisessa mahdollisessa asennossa. Kun havaitsija tulee ja mittaa hiukkasen sijainnin, superpositio pelkistyy yhdeksi mahdolliseksi aaltofunktioksi. (ts. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}) 
→ Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} 
, missä Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} on mikä tahansa mahdollinen aaltofunktion tila). Tämä ajatus siitä, että hiukkasen sijaintia ei voida tarkalleen tietää ja että hiukkanen on olemassa useassa eri asennossa samanaikaisesti, johtaa epävarmuusperiaatteeseen. Tämän periaatteen matemaattinen muotoilu voidaan esittää seuraavasti
Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}
Jossa Δ x {\displaystyle \Delta x}
on sijainnin epävarmuus ja Δ p {\displaystyle \Delta p}
on impulssin epävarmuus. Tämä periaate voidaan johtaa matemaattisesti kvanttimekaniikan määrittelemien impulssin ja sijainnin välisistä Fourier-muunnoksista, mutta emme johda sitä tässä artikkelissa.
Muut tulkinnat
On olemassa useita muita tulkintoja, kuten monimaailmatulkinta ja kvanttideterminismi.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on Schrödingerin yhtälö?
A: Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perustana oleva differentiaaliyhtälö, jonka Erwin Schrödinger keksi vuonna 1925. Se määrittelee hiukkasen tai systeemin aaltofunktion, jolla on tietty arvo jokaisessa avaruuden pisteessä jokaisena aikana.
Kysymys: Mitä tietoa aaltofunktiota manipuloimalla voidaan saada selville?
V: Aaltofunktiota matemaattisesti manipuloimalla voidaan löytää fysikaalisiin ominaisuuksiin, kuten sijaintiin, impulssiin, energiaan jne. liittyviä todellisia arvoja.
K: Mitä tarkoittaa, kun hiukkasella voi olla samanaikaisesti monta eri sijaintia, energiaa, nopeutta tai muuta fysikaalista ominaisuutta?
V: Tämä tarkoittaa sitä, että aaltofunktio voi olla samanaikaisesti useissa eri tiloissa ja siten hiukkasella voi olla samanaikaisesti useita eri sijainteja, energioita, nopeuksia tai muita fysikaalisia ominaisuuksia (eli "olla kahdessa paikassa yhtä aikaa").
Kysymys: Mitä on aaltofunktion luhistuminen?
V: Aaltofunktion kollapsi on sitä, että kun jokin näistä ominaisuuksista mitataan, sillä on vain yksi tietty arvo (jota ei voida varmasti ennustaa), ja aaltofunktio on siten vain yhdessä tietyssä tilassa. Tämä näyttää johtuvan havainnoinnista tai mittauksesta.
Kysymys: Mitkä ovat joitakin Schrödingerin yhtälön komponentteja?
V: Schrödingerin yhtälön komponentteihin kuuluvat i, joka on yhtä suuri kuin neliöjuuri -1; ℏ, joka edustaa pienennettyä Planckin vakiota; t, joka edustaa aikaa; x, joka edustaa sijaintia; Ψ (x , t), joka edustaa aaltofunktiota; ja V(x), joka edustaa potentiaalienergiaa vielä valitsemattomana sijainnin funktiona.
Kysymys: Miten tulkitsemme aaltofunktion romahduksen?
V: Aaltofunktion luhistumisen tarkasta syystä ja tulkinnasta keskustellaan edelleen laajasti tiedeyhteisössä.
Etsiä