Schrödingerin yhtälö

Schrödingerin yhtälö on differentiaaliyhtälö (yhtälötyyppi, johon liittyy tuntematon funktio tuntemattoman luvun sijasta), joka muodostaa kvanttimekaniikan perustan, joka on yksi tarkimmista teorioista subatomisten hiukkasten käyttäytymisestä. Se on matemaattinen yhtälö, jonka Erwin Schrödinger keksi vuonna 1925. Se määrittelee hiukkasen tai systeemin (hiukkasryhmän) aaltofunktion, jolla on tietty arvo jokaisessa avaruuden pisteessä jokaisena aikana. Näillä arvoilla ei ole mitään fysikaalista merkitystä (itse asiassa ne ovat matemaattisesti monimutkaisia), mutta aaltofunktio sisältää kaiken tiedon, joka hiukkasesta tai järjestelmästä voidaan tietää. Tämä tieto voidaan löytää manipuloimalla aaltofunktiota matemaattisesti siten, että se palauttaa todellisia arvoja, jotka liittyvät fysikaalisiin ominaisuuksiin, kuten sijaintiin, impulssiin, energiaan jne. Aaltofunktiota voidaan ajatella kuvana siitä, miten tämä hiukkanen tai systeemi käyttäytyy ajan kanssa, ja se kuvaa sitä mahdollisimman täydellisesti.

Aaltofunktio voi olla samanaikaisesti useissa eri tiloissa, joten hiukkasella voi olla useita eri sijainteja, energioita, nopeuksia tai muita fysikaalisia ominaisuuksia samanaikaisesti (eli "olla kahdessa paikassa samanaikaisesti"). Kuitenkin kun jokin näistä ominaisuuksista mitataan, sillä on vain yksi tietty arvo (jota ei voida varmasti ennustaa), ja aaltofunktio on siten vain yhdessä tietyssä tilassa. Tätä kutsutaan aaltofunktion romahdukseksi, ja se näyttää johtuvan havainnoinnista tai mittauksesta. Aaltofunktion romahtamisen täsmällisestä syystä ja tulkinnasta käydään edelleen laajaa keskustelua tiedeyhteisössä.

Yhdelle hiukkaselle, joka liikkuu avaruudessa vain yhteen suuntaan, Schrödingerin yhtälö näyttää seuraavalta:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

jossa i {\displaystyle i} $i$ on -1:n neliöjuuri, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ on Planckin redusoitu vakio, t {\displaystyle t} $t$ on aika, x {\displaystyle x} on sijainti, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ on aaltofunktio, ja V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ on potentiaalienergia, joka on vielä valitsematon sijainnin funktio. Vasen puoli vastaa Ψ {\displaystyle \Psi } Hamiltonin energiaoperaattoria. $\Psi$ .

Erwin Schrödingerin rintakuva Wienin yliopistossa. Siinä on myös Schrödingerin yhtälö.

Ajasta riippumaton versio

Oletetaan, että aaltofunktio Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} on aaltofunktio. $\Psi (x,t)$ , on separoituva, eli oletetaan, että kahden muuttujan funktio voidaan kirjoittaa kahden eri yhden muuttujan funktion tulona:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

voidaan osoittaa, että aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen kahdeksi erilliseksi differentiaaliyhtälöksi, kun käytetään tavanomaisia matemaattisia osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tekniikoita

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

jossa ensimmäinen yhtälö riippuu ainoastaan ajasta T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ ja toinen yhtälö riippuu vain sijainnista ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ ja jossa E {\displaystyle E} $E$ on vain luku. Ensimmäinen yhtälö voidaan ratkaista välittömästi, jolloin saadaan

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

jossa e {\displaystyle e} $e$ on Eulerin luku. Toisen yhtälön ratkaisut riippuvat potentiaalienergiafunktiosta V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , joten niitä ei voida ratkaista ennen kuin tämä funktio on annettu. Kvanttimekaniikan avulla voidaan osoittaa, että luku E {\displaystyle E} $E$ on itse asiassa systeemin energia, joten nämä erotettavat aaltofunktiot kuvaavat systeemejä, joilla on vakioenergia. Koska energia on vakio monissa tärkeissä fysikaalisissa systeemeissä (esimerkiksi elektroni atomissa), käytetään usein edellä esitetyn erotettujen differentiaaliyhtälöiden sarjan toista yhtälöä. Tämä yhtälö tunnetaan nimellä ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö, koska siihen ei liity t {\displaystyle t} $t$ .

Aaltofunktion tulkinnat

Syntynyt Tulkinta

Aaltofunktiosta on monia filosofisia tulkintoja, ja tässä käsitellään muutamia johtavia ajatuksia. Tärkein ajatus, jota kutsutaan Bornin todennäköisyystulkinnaksi (nimetty fyysikko Max Bornin mukaan), perustuu siihen yksinkertaiseen ajatukseen, että aaltofunktio on neliöintegroituva, toisin sanoen.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Tällä melko yksinkertaisella kaavalla on suuria fyysisiä vaikutuksia. Born esitti hypoteesin, että edellä mainittu integraali määrittää, että hiukkanen on olemassa jossain avaruudessa. Mutta miten voimme löytää sen? Käytämme integraalia

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

jossa P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} on todennäköisyys $P(b<x<a)$ löytää hiukkanen alueelta b {\displaystyle b} - a {\displaystyle $b$ a} . Toisin sanoen kaikki, mitä hiukkasesta voidaan yleisesti ottaen tietää etukäteen, ovat todennäköisyyksiä, keskiarvoja ja muita tilastollisia suureita, jotka liittyvät sen fysikaalisiin suureisiin (sijainti, impulssi jne.). Tämä on periaatteessa Bornin tulkinta.

Kööpenhaminan tulkinta

Edellä esitettyjä ajatuksia voidaan laajentaa. Koska Bornin tulkinnan mukaan hiukkasen todellista sijaintia ei voida tietää, voidaan johtaa seuraava. Jos Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ ovat aaltoyhtälön ratkaisuja, niin näiden ratkaisujen superpositio, ts.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

on myös ratkaisu. Tämä tarkoittaa siis, että hiukkanen on olemassa jokaisessa mahdollisessa asennossa. Kun havaitsija tulee ja mittaa hiukkasen sijainnin, superpositio pelkistyy yhdeksi mahdolliseksi aaltofunktioksi. (ts. Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}) $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , missä Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ on mikä tahansa mahdollinen aaltofunktion tila). Tämä ajatus siitä, että hiukkasen sijaintia ei voida tarkalleen tietää ja että hiukkanen on olemassa useassa eri asennossa samanaikaisesti, johtaa epävarmuusperiaatteeseen. Tämän periaatteen matemaattinen muotoilu voidaan esittää seuraavasti

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Jossa Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ on sijainnin epävarmuus ja Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ on impulssin epävarmuus. Tämä periaate voidaan johtaa matemaattisesti kvanttimekaniikan määrittelemien impulssin ja sijainnin välisistä Fourier-muunnoksista, mutta emme johda sitä tässä artikkelissa.

Muut tulkinnat

On olemassa useita muita tulkintoja, kuten monimaailmatulkinta ja kvanttideterminismi.

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on Schrödingerin yhtälö?

A: Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perustana oleva differentiaaliyhtälö, jonka Erwin Schrödinger keksi vuonna 1925. Se määrittelee hiukkasen tai systeemin aaltofunktion, jolla on tietty arvo jokaisessa avaruuden pisteessä jokaisena aikana.

Kysymys: Mitä tietoa aaltofunktiota manipuloimalla voidaan saada selville?

V: Aaltofunktiota matemaattisesti manipuloimalla voidaan löytää fysikaalisiin ominaisuuksiin, kuten sijaintiin, impulssiin, energiaan jne. liittyviä todellisia arvoja.

K: Mitä tarkoittaa, kun hiukkasella voi olla samanaikaisesti monta eri sijaintia, energiaa, nopeutta tai muuta fysikaalista ominaisuutta?

V: Tämä tarkoittaa sitä, että aaltofunktio voi olla samanaikaisesti useissa eri tiloissa ja siten hiukkasella voi olla samanaikaisesti useita eri sijainteja, energioita, nopeuksia tai muita fysikaalisia ominaisuuksia (eli "olla kahdessa paikassa yhtä aikaa").

Kysymys: Mitä on aaltofunktion luhistuminen?

V: Aaltofunktion kollapsi on sitä, että kun jokin näistä ominaisuuksista mitataan, sillä on vain yksi tietty arvo (jota ei voida varmasti ennustaa), ja aaltofunktio on siten vain yhdessä tietyssä tilassa. Tämä näyttää johtuvan havainnoinnista tai mittauksesta.

Kysymys: Mitkä ovat joitakin Schrödingerin yhtälön komponentteja?

V: Schrödingerin yhtälön komponentteihin kuuluvat i, joka on yhtä suuri kuin neliöjuuri -1; ℏ, joka edustaa pienennettyä Planckin vakiota; t, joka edustaa aikaa; x, joka edustaa sijaintia; Ψ (x , t), joka edustaa aaltofunktiota; ja V(x), joka edustaa potentiaalienergiaa vielä valitsemattomana sijainnin funktiona.

Kysymys: Miten tulkitsemme aaltofunktion romahduksen?

V: Aaltofunktion luhistumisen tarkasta syystä ja tulkinnasta keskustellaan edelleen laajasti tiedeyhteisössä.